Satz von Carleson und Hunt

In d​er Mathematik i​st der Satz v​on Carleson u​nd Hunt e​in Lehrsatz über d​ie punktweise Konvergenz v​on Fourier-Reihen. Er i​st die Verallgemeinerung d​es vormals a​ls Vermutung v​on Lusin bekannten Satzes v​on Carleson u​nd ist n​ach Lennart Carleson u​nd Richard Allen Hunt benannt.

Formulierung des Satzes

Satz von Carleson

Sei ${\displaystyle f\in L^{2}(S^{1})}$ eine quadratisch integrierbare, ${\displaystyle 2\pi }$-periodische Funktion mit Fourier-Koeffizienten ${\displaystyle {\hat {f}}(n)}$. Dann hat man für fast alle ${\displaystyle x}$ punktweise Konvergenz.

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e^{inx}=f(x)}$.

Satz von Carleson und Hunt

Sei ${\displaystyle p>1}$ und ${\displaystyle f\in L^{p}(S^{1})}$ eine ${\displaystyle 2\pi }$-periodische Funktion mit Fourier-Koeffizienten ${\displaystyle {\hat {f}}(n)}$. Dann hat man für fast alle ${\displaystyle x}$ punktweise Konvergenz.

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e^{inx}=f(x)}$.

Die analoge Aussage für ${\displaystyle p=1}$ ist nicht korrekt, wie ein Gegenbeispiel von Kolmogorow zeigt.

Literatur

• A. N. Kolmogorow: Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout , Fundamenta Mathematicae 4, 324–328, 1923.
• L. Carleson: On convergence and growth of partial sums of Fourier series, Acta Mathematica 116 (1), 135–157, 1966.
• R. A. Hunt: Über die Konvergenz von Fourier-Reihen, Orthogonal Expansions and their Continuous Analogues, Proc. Conf., Edwardsville, Ill., 1967 , Carbondale, Ill., Southern Illinois Univ. Press, S. 235–255, 1968.

Weblinks

• Luzin problem (Encyclopedia of Mathematics)