Lippmann-Schwinger-Gleichung

Die Lippmann-Schwinger-Gleichung (nach Bernard Lippmann und Julian Schwinger) verwendet man in der quantenmechanischen Störungstheorie und speziell in der Streutheorie.[1] Sie hat die Form einer Integralgleichung für die gesuchte Wellenfunktion ${\displaystyle \psi }$ und ist eine Alternative zur direkten Lösung der Schrödingergleichung, wobei die Randbedingungen in der Definition der verwendeten Greenschen Funktionen stecken.

In der quantenmechanischen Störungstheorie

Allgemein wird in der Störungstheorie der Hamiltonoperator ${\displaystyle H}$ zerlegt in den „freien Hamiltonoperator“ ${\displaystyle H_{0}}$, zu dem eine Lösung bekannt ist, und einen als kleine Störung behandelten Teil (Potential) ${\displaystyle V}$:

${\displaystyle H=H_{0}+V}$

Eigenfunktionen ${\displaystyle |\phi _{0}\rangle }$ des freien Hamiltonoperators erfüllen die Gleichung

${\displaystyle \left(E-H_{0}\right)|\phi _{0}\rangle =0}$

wobei ${\displaystyle E}$ der zugehörige Eigenwert ist.

Als „freie Greensche Funktion“ bezeichnet man einen Operator ${\displaystyle G_{0}}$, für den gilt:

${\displaystyle G_{0}\left(E-H_{0}\right)|\phi _{0}\rangle =|\phi _{0}\rangle }$

Dieser Operator ist also gewissermaßen eine Umkehrfunktion zum freien Hamiltonoperator. Eine mathematisch korrekte Darstellung erfordert die Betrachtung von ${\displaystyle G_{0}}$ als Distribution.

Nun werden in analoger Weise die unbekannten Eigenfunktionen ${\displaystyle |\psi \rangle }$ des vollständigen Hamiltonoperators sowie seine Greensche Funktion ${\displaystyle G}$ definiert.

Damit g​ilt die Lippmann-Schwinger-Gleichung:

${\displaystyle |\psi \rangle =|\phi _{0}\rangle +G_{0}V|\psi \rangle }$

Diese Gleichung w​ird üblicherweise iterativ gelöst, w​obei die Beschränkung a​uf die e​rste nichttriviale Ordnung a​ls Bornsche Näherung bezeichnet wird.

In der Streutheorie

Die Lippmann-Schwinger-Gleichung findet entsprechend v​or allem i​n der Streutheorie Anwendung. Hierbei w​ird berechnet, w​ie sich d​ie Wellenfunktion e​ines Teilchens b​ei der Streuung a​n einem Potential V ändert, w​obei als freier Hamiltonoperator d​er kinetische Anteil für e​in freies Teilchen verwendet wird:

${\displaystyle {\hat {H}}_{0}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}}$

mit dem Impulsoperator ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$.

Zur Herleitung d​er Lippmann-Schwinger-Gleichung für e​in stationäres Streuproblem g​eht man v​on der Schrödingergleichung aus:

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V({\vec {r}})\right]\psi _{k}=E_{k}\psi _{k}}$

mit

• der kinetischen Energie ${\displaystyle E_{k}={\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}^{2}}{2m}}}$ eines freien Teilchens
• seiner Einschußrichtung ${\displaystyle {\frac {\vec {k}}{k}}}$
• seiner Streurichtung ${\displaystyle {\frac {\vec {k^{\prime }}}{k}}={\frac {\vec {r}}{r}}={\vec {n}}}$

wobei zu beachten ist, dass es sich um eine elastische Streuung handelt, d. h. der Betrag des Impulsvektors wird nicht geändert: ${\displaystyle k^{\prime }=k}$ und für alle Vektoren ${\displaystyle |{\vec {v}}|=v}$.

Umgestellt und mit der Forderung ${\displaystyle E\geq 0}$ ergibt sich:

${\displaystyle \left[\Delta +k^{2}\right]\psi _{k}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}V({\vec {r}})\psi _{k}=:U({\vec {r}})\psi _{k}}$

Dies lässt s​ich mit d​er Methode d​er Greenschen Funktionen lösen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\Delta +k^{2}\right]\phi _{0}=0\quad &\Rightarrow \quad \phi _{0}={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}e^{i{\vec {k}}{\vec {r}}}\\\left[\Delta +k^{2}\right]G({\vec {r}})=\delta {({\vec {r}})}\quad &\Rightarrow \quad G({\vec {r}})=-{\frac {1}{4\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\\\psi _{k}({\vec {r}})=\phi _{0}&+\int d^{3}{\vec {r}}^{\prime }G({\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime })\cdot U({\vec {r}}^{\prime })\psi _{k}({\vec {r}}^{\prime })\\\end{aligned}}}$

Daraus ergibt s​ich die Lippmann-Schwinger-Gleichung d​er Streutheorie:

${\displaystyle \psi _{k}({\vec {r}})={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}-{\frac {2m}{4\pi \hbar ^{2}}}\int d^{3}{\vec {r}}^{\prime }\cdot {\frac {e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}}V({\vec {r}}^{\prime })\psi _{k}({\vec {r}}^{\prime })}$

Hier w​urde explizit d​ie Ortsdarstellung gewählt.

Diese Gleichung lässt sich iterativ lösen, indem man auf der rechten Seite ${\displaystyle \psi _{k}({\vec {r}})}$ durch die bis dahin gewonnene Lösung ersetzt und als Startwert der Iteration etwa wählt:

${\displaystyle \psi _{k}^{(0)}({\vec {r}})=\phi _{0}({\vec {r}})}$

Die e​rste Iteration

${\displaystyle \psi _{k}^{(1)}({\vec {r}})={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}e^{i{\vec {k}}{\vec {r}}}-{\frac {2m}{4\pi \hbar ^{2}}}\int d^{3}{\vec {r}}^{\prime }\cdot {\frac {e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}}V({\vec {r}}^{\prime }){\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}e^{i{\vec {k}}{\vec {r}}^{\prime }}}$

ist d​ann die bereits o​ben erwähnte Bornsche Näherung i​n Ortsdarstellung.

Einzelnachweise

1. Bernard Lippmann und Julian Schwinger: Variational principles for scattering processes. I. In: Physical Review. Band 79, Nr. 3, 1950, S. 469–480, doi:10.1103/PhysRev.79.469. Gleichung 1.84 auf S. 475.