Kurvenkomplex

In d​er Mathematik i​st der Kurvenkomplex e​iner Fläche e​in wesentliches Hilfsmittel z​ur Untersuchung d​er Abbildungsklassengruppe d​er Fläche.

Definition

Zu einer Fläche ${\displaystyle S}$ wird ein abstrakter Simplizialkomplex ${\displaystyle {\mathcal {C}}(S)}$ assoziiert. Er ist durch die folgenden Daten gegeben.

0-Simplizes: Jeder Isotopieklasse wesentlicher einfacher geschlossener Kurven in ${\displaystyle S}$ entspricht eine Ecke in ${\displaystyle {\mathcal {C}}(S)}$.

1-Simplizes: Zwei Ecken in ${\displaystyle {\mathcal {C}}(S)}$ sind durch eine Kante verbunden, wenn für die Schnittzahl der entsprechenden Isotopieklassen von Kurven ${\displaystyle a,b}$ gilt ${\displaystyle i(a,b)=0}$.

k-Simplizes: ${\displaystyle k+1}$ Ecken spannen genau dann einen k-Simplex auf, wenn sie paarweise durch Kanten verbunden sind. ${\displaystyle {\mathcal {C}}(S)}$ ist also ein Fahnenkomplex.

Eigenschaften

• Für ${\displaystyle S^{2},S_{0,1},S_{0,2},S_{0,3}}$ ist der Kurvenkomplex leer. Für ${\displaystyle T^{2},S_{1,1},S_{0,4}}$ ist der Kurvenkomplex eine abzählbare Menge von 0-Simplizes.
• Für ${\displaystyle 3g+n\geq 5}$ ist ${\displaystyle {\mathcal {C}}(S_{g,n})}$ zusammenhängend.
• Der Kurvenkomplex ist ein Gromov-hyperbolischer Raum. Außer für ${\displaystyle S^{2},S_{0,1},S_{0,2},S_{0,3}}$ hat er unendlichen Durchmesser.

Anwendungen

• Aus dem Zusammenhang des Kurvenkomplexes folgt, dass die Abbildungsklassengruppe endlich erzeugt ist.
• Zwei Simplizes in ${\displaystyle {\mathcal {C}}(S)}$ bestimmen eine Heegaard-Zerlegung einer 3-Mannigfaltigkeit. Die Zerlegung ist genau dann reduzibel, wenn die beiden Simplizes eine gemeinsame Ecke haben. Die Zerlegung ist schwach reduzibel, wenn die beiden Simplizes durch eine Kante verbunden sind.

Literatur

• Benson Farb, Dan Margalit: A primer on mapping class groups. Princeton Mathematical Series, 49. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2012. ISBN 978-0-691-14794-9 online (pdf)
• Nikolai Ivanov: Mapping class groups. Handbook of geometric topology, 523–633, North-Holland, Amsterdam, 2002.

Weblinks

• Saul Schleimer: Notes on the complex of curves