Kunita-Watanabe-Ungleichung

In der Stochastik bezeichnet die Ungleichung von Kunita-Watanabe eine Verallgemeinerung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung für Integrale von stochastischen Prozessen. Die Ungleichung wurde 1967 von Hiroshi Kunita und Shinzō Watanabe bewiesen.[1]

Aussage der Ungleichung

Seien $M$ und $N$ stetige lokale Martingale und $H$ , $K$ messbare Prozesse. Dann gilt für $A\subseteq [0,\infty ]$

\int \limits _{A}\left|H_{s}\right|\left|K_{s}\right|\left|\mathrm {d} \langle M,N\rangle _{s}\right|\leq {\sqrt {\int \limits _{A}H_{s}^{2}\,\mathrm {d} \langle M\rangle _{s}}}{\sqrt {\int \limits _{A}K_{s}^{2}\,\mathrm {d} \langle N\rangle _{s}}}

,

wobei die spitzen Klammern die quadratische Variation bezeichnen und das Integral im Sinne eines Stieltjes-Integral zu verstehen ist.

Literatur

L. Rogers, David Williams: Diffusions, Markov Processes and Martingales, Band 2: Ito Calculus, Cambridge UP 2000
Richard Durrett: Stochastic Calculus. An Introduction, CRC Press 1996

Einzelnachweise

Kunito, Watanabe, On square integrable Martingales, Nagoya Math. J., Band 30, 1967, S. 209–245, Project Euclid

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[1] Kunito, Watanabe, On square integrable Martingales, Nagoya Math. J., Band 30, 1967, S. 209–245, Project Euclid