Krullscher Hauptidealsatz

Der Krullsche Hauptidealsatz i​st ein zentraler Satz d​er Dimensionstheorie v​on noetherschen Ringen i​n der kommutativen Algebra, d​er nach Wolfgang Krull benannt i​st und v​on ihm 1928 veröffentlicht wurde.[1][2]

Formulierung

Sei ${\displaystyle R}$ ein noetherscher Ring, ${\displaystyle x\in R\setminus R^{\ast }}$ eine Nichteinheit und ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ minimal unter den Primidealen, die das Hauptideal ${\displaystyle Rx}$ enthalten.

Dann ist die Höhe des Primideals ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ höchstens ${\displaystyle 1}$.[3][4][5]

Verallgemeinerung auf beliebige Ideale

Die Aussage d​es Krullschen Hauptidealsatzes lässt s​ich von Hauptidealen a​uf beliebige Ideale verallgemeinern. Sie w​ird dann a​uch als Krullscher Höhensatz bezeichnet.[6]

Sei ${\displaystyle R}$ ein noetherscher Ring, ${\displaystyle I\subsetneq R}$ ein echtes Ideal, welches von ${\displaystyle m}$ Elementen erzeugt wird und ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ minimal unter den Primidealen, die das Ideal ${\displaystyle I}$ enthalten. Dann ist die Höhe des Primideals ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ höchstens ${\displaystyle m}$.[7][8]

Bedeutung für die algebraische Geometrie

Da m​an die Dimension e​iner affinen algebraischen Varietät a​ls Krulldimension d​es zugehörigen Koordinatenrings erhält, liefert d​er Krullsche Hauptidealsatz direkt Abschätzungen über Dimensionen bestimmter Varietäten. Man erhält s​o etwa d​ie folgende Aussage:

Sind ${\displaystyle V,W\subseteq \mathbb {P} ^{n}(K)}$ irreduzible projektive Varietäten im ${\displaystyle n}$-dimensionalen projektiven Raum über dem Körper ${\displaystyle K}$. Dann erhält man für eine irreduzible Komponente ${\displaystyle Z\subseteq V\cap W}$ die Abschätzung

${\displaystyle \dim(Z)\geq \dim(V)+\dim(W)-n}$.[9]

Literatur

• Wolfgang Krull: Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen. In: Sitzungsbericht Heidelberger Akademie der Wissenschaften. 7. Abhandlung, 1928.
• Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie (= Aufbaukurs Mathematik). 14. Auflage. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1997, ISBN 978-3-528-07287-2, VI.Dimensionstheorie, §5, doi:10.1007/978-3-322-80313-9.
• David Eisenbud: Commutative Algebra. with a View Toward Algebraic Geometry (= Graduate Texts in Mathematics. Nr. 150). Springer, New York 1995, ISBN 0-387-94268-8, 10. The Principal Ideal Theorem an Systems of Parameters.
• Michael Francis Atiyah, Ian Grant Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Westview Press, New York 1969, ISBN 0-201-00361-9, 11 Dimension Theory.

Einzelnachweise

1. Eisenbud: Commutative Algebra. 1995, S. 231.
2. Krull: Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen. 1928, §3.
3. Eisenbud: Commutative Algebra. 1995, Theorem 10.1.
4. Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. 1997, Satz 5.1.
5. Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. 1969, Corollary 11.17.
6. Markus Brodmann: Algebraische Geometrie: Eine Einführung. Birkhäuser, Basel 1989, ISBN 978-3-7643-1779-9, S. 143.
7. Eisenbud: Commutative Algebra. 1995, Theorem 10.2.
8. Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. 1997, Satz 5.4.
9. Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. 1997, Satz 5.9.