Kriterium von Raabe

Das Raabesche Kriterium o​der das Kriterium v​on Raabe-Duhamel (von Joseph Ludwig Raabe u​nd Jean Marie Constant Duhamel) i​st ein mathematisches Konvergenzkriterium, a​lso ein Mittel z​ur Entscheidung, o​b eine unendliche Reihe konvergent o​der divergent ist.

Formulierung

1. Fassung

Sei e​ine unendliche Reihe

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

mit positiven reellen Summanden ${\displaystyle a_{n}}$ gegeben, die eine monoton fallende Folge bilden.

Dann ist ${\displaystyle S}$ konvergent, falls die Folge

${\displaystyle \left(\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}-1\right)n\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

nach oben durch ein ${\displaystyle -\alpha <-1}$ beschränkt ist. Sind alle Glieder dieser Folge größer als ${\displaystyle -1}$, so ist ${\displaystyle S}$ divergent.

2. Fassung

Sei e​ine unendliche Reihe

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

gegeben.

Dann ist ${\displaystyle S}$ absolut konvergent, falls für eine Zahl ${\displaystyle \beta >1}$ fast immer (d. h. für ${\displaystyle n\geq n_{0}}$) gilt:

${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq 1-{\frac {\beta }{n}}}$.

Sie divergiert jedoch, wenn fast immer ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq 1-{\frac {1}{n}}}$ ausfällt.

Anmerkungen

Wie immer bei der Betrachtung des Konvergenzverhaltens von Reihen muss dieses Kriterium nur für fast alle Indizes erfüllt sein. Durch Umstellen führt das Kriterium auf eine Abschätzung von ${\displaystyle S}$ durch

${\displaystyle T=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$

nach dem Majorantenkriterium, wobei ${\displaystyle T}$ die Teleskopreihe mit ${\displaystyle b_{n}=c_{n}-c_{n+1}}$ über der Nullfolge ${\displaystyle c_{n}={\frac {n-1}{\alpha -1}}a_{n}}$ ist.

Mit Obigem ergibt s​ich eine Reihenrest-Abschätzung:

${\displaystyle S-S_{N}=\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}\leq {\frac {N}{\alpha -1}}a_{N+1}}$.

Anwendbarkeit

Diese Kriterien s​ind schwerer anzuwenden a​ls das Wurzelkriterium bzw. Quotientenkriterium, liefern jedoch i​n dort ungewissen Fällen o​ft noch Konvergenzaussagen. Sie werden z. B. angewandt, u​m bei Potenzreihen d​as Verhalten a​uf dem Rand d​es Konvergenzbereichs z​u bestimmen.

Literatur

• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. Springer 1996 (6. Aufl.), ISBN 3-540-59111-7