Kriterium von Bertrand

Das Kriterium v​on Bertrand o​der das Bertrandsche Kriterium i​st ein mathematisches Konvergenzkriterium z​ur Bestimmung d​er (absoluten) Konvergenz s​owie Divergenz unendlicher Reihen, d​as nach d​em französischen Mathematiker Joseph Bertrand (1822–1900) benannt ist.

Formulierung

Sei ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} _{+}^{\mathbb {N} }}$ eine positive reelle Folge und ${\displaystyle \textstyle A:=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ die zugehörige Reihe. Die Folge ${\displaystyle (B_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ mit:

${\displaystyle B_{n}:=\ln(n)\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)}$

habe den endlichen oder unendlichen (respektive uneigentlichen) Grenzwert ${\displaystyle B\in {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$:

${\displaystyle B:=\lim \limits _{n\to \infty }B_{n}}$.

Dann gilt für die Reihe: ${\displaystyle A}$ ist ${\displaystyle {\begin{cases}{\text{konvergent, falls}}&B>1\\{\text{divergent, falls}}&B<1\end{cases}}}$.

Beweis

Sei ${\displaystyle c_{n}:=n\ln(n)}$ mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{\geqq 2}}$. Die Reihe ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}}$ divergiert aufgrund des Integralkriteriums. Setzen wir ${\displaystyle f(x):={\frac {1}{x\ln(x)}}}$, so gilt ${\displaystyle {\frac {1}{c_{n}}}=f(n)}$ und ${\displaystyle f(x)}$ ist monoton fallend und ${\displaystyle f(x)\to 0}$ für ${\displaystyle x\to \infty }$ und ${\displaystyle x\geqq 2}$. Des Weiteren ist:

${\displaystyle \int _{2}^{R}{\frac {1}{x\ln(x)}}\mathrm {d} x=\int _{2}^{R}{\frac {{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)}{\ln(x)}}\mathrm {d} x=\ln(\ln(R))-\ln(\ln(2)){\xrightarrow {R\to \infty }}\infty }$.

Setze nun:

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{n}&:=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}=n\ln(n){\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\ln(n+1)\\&=n\ln(n){\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-n\ln(n+1)-\ln(n+1)\\&=n\ln(n){\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-n\left(\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)+\ln(n)\right)-\left(\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)+\ln(n)\right)\\&=n\ln(n){\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)-n\ln(n)-\ln(n)\\&=\ln(n)\left(n{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-n-1\right)-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\\&=\ln(n)\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\\&=B_{n}-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\end{aligned}}}$.

Mit der Stetigkeit des Logarithmus und dem bekannten Grenzwert ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}=e}$ folgt für ${\displaystyle n\to \infty }$:

${\displaystyle K=B-\ln(e)=B-1}$,

wobei ${\displaystyle K,B\in {\overline {\mathbb {R} }}}$ und ${\displaystyle K:=\lim _{n\to \infty }K_{n}}$ gilt. ${\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ erfüllt nun nach Konstruktion die Bedingungen des Kriteriums von Kummer. Aus Letzterem folgt für ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle A\colon {\begin{cases}{\text{konvergent}}&K>0\Leftrightarrow B>1\\{\text{divergent}}&K<0\Leftrightarrow B<1\end{cases}}}$.[1]

Literatur

• Gregor Michailowitsch Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung 2 (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 10. Auflage. Verlag Harri Deutsch [Fismatgis/Физматгиз], Frankfurt am Main [Moskau] 2009, ISBN 978-3-8171-1279-1, XI: Unendliche Reihen mit konstanten Gliedern, S. 262, 732 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche – russisch: Курс дифференциального и интегрального исчисления. Übersetzt von Brigitte Mai, Walter Mai, Erstausgabe: 1959).

Einzelnachweise

1. Markus Oster, Nicolai Lang; Christian Barth: Lösungen zum Arbeitsblatt I. (PDF; 155 kB) Vorlesung Analysis II (SoSe 2009). 25. Oktober 2009, S. 7/28 S., abgerufen am 23. Dezember 2012.