Kriterium von Kummer
Das Kriterium von Kummer (nach dem deutschen Mathematiker Ernst Eduard Kummer) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe (absolut) konvergiert.
Das Kummer-Kriterium beinhaltet zwei Aussagen, über Konvergenz und über Divergenz.
Formulierung
Sei eine positive reelle Zahlenfolge. Mit dieser wird die Reihe gebildet. Diese Reihe soll auf Konvergenz oder Divergenz untersucht werden.
Konvergenzaussage
Gibt es eine positive reelle Zahlenfolge , so dass ab einem bestimmten Index der Ausdruck
stets größer oder gleich einer positiven Konstante ist, dann konvergiert die Reihe .[1]
Divergenzaussage
Gibt es eine positive reelle Zahlenfolge , so dass
- die Reihe der reziproken Glieder divergiert und
- ab einem bestimmten Index der Ausdruck
- stets kleiner gleich Null ist,
dann divergiert die Reihe .[1]
Beweise
Beweis der Konvergenzaussage
Es gelte für alle Indizes die Abschätzung
- .
Nach dem Durchmultiplizieren mit ergibt sich daraus
- .
Diese Ungleichung lässt sich nun von bis zu einer beliebig großen natürlichen Zahl nach Art einer Teleskopsumme aufsummieren.
Der letzte Ausdruck ist immer kleiner als , diese Schranke hängt nicht von ab. Also gilt für alle
Daher wächst die Folge der Partialsummen ab dem Index monoton und ist nach oben beschränkt. Nach dem (Trivial-)Kriterium der monotonen Konvergenz konvergiert somit .
Beweis der Divergenzaussage
Es gelte für alle Indizes die Abschätzung
- und damit auch .
Durch induktive Verkettung dieser Ungleichungen von bis zu einem beliebig großen Index ergibt sich
- ,
nach weiterem Umstellen
- .
Wird diese Ungleichung von bis zu einem beliebig großen Index aufsummiert, so folgt
Letzte Reihe divergiert nach Voraussetzung für . Also divergiert auch nach dem Minorantenkriterium.
Einzelnachweise
- Wladimir Smirnow: Lehrgang der höheren Mathematik, Harri Deutsch Verlag, ISBN 3-8171-1419-2, S. 309–310.