Hydraulischer Durchmesser

Der hydraulische Durchmesser ${\displaystyle d_{h}}$ ist eine rechnerische Größe, die zur Berechnung von Druckverlust und Durchsatz in Rohren oder Kanälen herangezogen werden kann, wenn der Querschnitt des Rohres bzw. Kanals von der Kreisform abweicht. Die Anwendung des hydraulischen Durchmessers stellt für turbulente Strömungen eine gute Näherung dar, für laminare Strömungsverhältnisse kann sie jedoch zu erheblichen Fehlern führen.

Der hydraulische Radius ${\displaystyle r_{h}}$ ist ähnlich wie der hydraulische Durchmesser definiert und wird vor allem zur Berechnung von Strömungen in offenen Gerinnen angewendet.

Hydraulischer Durchmesser

Definition

Für Rohre mit kreisförmigem Querschnitt sind die Strömungsverhältnisse umfangreich dokumentiert. Die Berechnung des hydraulischen Durchmessers kann man als Versuch verstehen, für einen Strömungskanal mit einem beliebigen Querschnitt den Durchmesser desjenigen Rohres mit kreisförmigem Querschnitt zu ermitteln, das bei gleicher Länge und gleicher mittlerer Strömungsgeschwindigkeit ${\displaystyle {\bar {v}}}$ den gleichen Druckverlust ${\displaystyle \Delta p}$ wie der gegebene Strömungskanal aufweist.

Bei einer ausgebildeten Rohrströmung stehen die Scherkräfte an der Rohrwand eines bestimmten Rohrabschnitts im Gleichgewicht mit den Druckkräften, die auf die Querschnittsflächen an der Zu- und Abströmung dieses Rohrabschnitts auftreten. Die Definition des hydraulischen Durchmessers geht von der Vorstellung aus, dass vergleichbare Verhältnisse vorliegen, wenn die Querschnittsfläche ${\displaystyle A}$ und der benetzte Umfang ${\displaystyle P}$ im gleichen Verhältnis zueinander stehen. Dabei ist bei Betrachtung des Querschnitts der benetzte Umfang die Länge der Kurve, an der das Fluid die Rohrwand berührt.

${\displaystyle d_{h}=4\cdot {\frac {A}{P}}}$

Beispiele

• Für die Strömung in einem Ringspalt der Breite ${\displaystyle s={\frac {D-d}{2}}}$ zwischen zwei konzentrischen Rohren mit den Durchmessern D bzw. d ergibt sich

${\displaystyle d_{h}=4\cdot {\frac {{\tfrac {\pi }{4}}\cdot (D^{2}-d^{2})}{\pi \cdot (D+d)}}=D-d=2s}$

• Für einen Kanal mit quadratischem Querschnitt der Seitenlänge ${\displaystyle a}$ ergibt sich der hydraulische Durchmesser zu

${\displaystyle d_{h}=4\cdot {\frac {a^{2}}{4\cdot a}}=a}$

Begrenzte Anwendbarkeit

Für d​ie meisten i​n der Praxis vorhandenen Fälle lassen s​ich mit Hilfe d​es hydraulischen Durchmessers d​ie tatsächlich herrschenden Strömungsverhältnisse m​it brauchbarer Genauigkeit ermitteln. Es können s​ich allerdings relevante Abweichungen ergeben, w​enn die Form d​es Querschnitts a​uf bestimmte Weise v​on einem Kreis abweicht o​der wenn laminare Strömungsverhältnisse vorliegen. Dazu h​ier zwei Beispiele:

• Form des betrachteten Querschnitts:

Für einen Querschnitt, der sich aus einem Kreis (Durchmesser d) und einem langen engen Spalt (Spaltbreite b) zusammensetzt („Kreis mit schmalem Fortsatz“) ergibt sich:

${\displaystyle d_{h}\approx {\frac {\pi d^{2}}{\pi d+2b}}}$

Damit wäre ${\displaystyle d_{h}<d}$, woraus man einen höheren Druckverlust als im runden Rohr ermitteln würde. Tatsächlich hat der Spalt, sofern er eng genug ist, keinerlei Auswirkung auf den Druckverlust.

• Laminare Spaltströmung:

Für einen niedrigen breiten Spalt (Spaltbreite ${\displaystyle b\gg }$ Spalthöhe ${\displaystyle h}$) ergibt sich ein hydraulischer Durchmesser von:

${\displaystyle d_{h}={\frac {4bh}{2b+2h}}\approx 2h}$

Der Druckverlust in einem runden Rohr bei laminarer Strömung und mittlerer Geschwindigkeit ${\displaystyle {\bar {v}}}$ ist mit dem Gesetz von Hagen-Poiseuille

${\displaystyle \Delta p_{\text{Kreisrohr}}={\frac {32\eta l{\bar {v}}}{d^{2}}}}$

Damit wäre der Druckverlust im Spalt

${\displaystyle \Delta p_{{\text{Spalt}},dh}={\frac {8\eta l{\bar {v}}}{h^{2}}}}$.

Für den niedrigen breiten Spalt lässt sich nach Hagen-Poiseuille auch direkt eine exakte Lösung angeben. Diese lautet

${\displaystyle \Delta p_{\text{Spalt, exakt}}={\frac {12\eta l{\bar {v}}}{h^{2}}}}$.

Die Berechnung unter Zuhilfenahme von ${\displaystyle d_{h}}$ liefert in diesem Fall also einen um 33 % zu geringen Druckverlust.

Hydraulischer Radius

beliebiger Querschnitt
mit A = durchströmte Fläche, P = benetzter Umfang

Der hydraulische Radius ${\displaystyle r_{h}}$ ist der Quotient aus dem Strömungsquerschnitt A und dem benetzten Umfang ${\displaystyle P}$:

${\displaystyle r_{h}={\frac {A}{P}}={\frac {d_{h}}{4}}}$

Besonders im Fall offener Gerinne ist ${\displaystyle r_{h}}$ bequemer anwendbar als ${\displaystyle d_{h}}$.

Beispiele für den hydraulischen Radius

	Rechteck	Trapez	Dreieck	Kreis	Parabel
Breite ${\displaystyle B}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle b+2\cdot mh}$	${\displaystyle 2\cdot mh}$	${\displaystyle \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right)\cdot D}$ oder ${\displaystyle 2{\sqrt {h\cdot (D-h)}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{2}}{\frac {A}{h}}}$
Mittlere Wassertiefe	${\displaystyle h}$	${\displaystyle {\frac {(b+mh)h}{b+2\cdot mh}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}h}$	${\displaystyle \left[{\frac {\theta -\sin \theta }{\sin {\frac {\theta }{2}}}}\right]{\frac {D}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{3}}h}$
Querschnittsfläche ${\displaystyle A}$	${\displaystyle b\cdot h}$	${\displaystyle (b+mh)\cdot {}h}$	${\displaystyle m\cdot h^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{8}}(\theta -\sin {\theta })\cdot {}D^{2}}$	${\displaystyle {\frac {2}{3}}Bh}$
benetzter Umfang ${\displaystyle P}$	${\displaystyle b+2h}$	${\displaystyle b+2\cdot {}h\cdot {}{\sqrt {1+m^{2}}}}$	${\displaystyle 2h\cdot {}{\sqrt {1+m^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\theta \cdot {}D}$	${\displaystyle B+{\frac {8}{3}}{\frac {h^{2}}{B}}}$[1]
Hydraulischer Radius ${\displaystyle r_{h}}$	${\displaystyle {\frac {bh}{b+2h}}}$	${\displaystyle {\frac {(b+mh)\cdot {}h}{b+2h\cdot {}{\sqrt {1+m^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {mh}{2\cdot {}{\sqrt {1+m^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}\left[1-{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right]D}$	${\displaystyle {\frac {2B^{2}h}{3B^{2}+8h^{2}}}}$[1]

Anmerkungen

1. gültig für ${\displaystyle 0<\xi <1}$, mit ${\displaystyle \xi ={\tfrac {4h}{b}}}$. Si ${\displaystyle \textstyle \xi >1:P=\left({\frac {B}{2}}\right)\left[{\sqrt {1+\xi ^{2}}}+{\frac {1}{\xi }}\ln \left(\xi +{\sqrt {1+\xi ^{2}}}\right)\right]}$