Kreisevolvente

Eine Kreisevolvente i​st eine e​bene geometrische Kurve, e​ine spezielle Evolvente m​it einem Kreis a​ls Evolute. Sie h​at erhebliche Bedeutung b​ei der Evolventenverzahnung i​m Maschinenbau, w​o sie a​ls Zahnflanke v​on Zahnrädern auftritt. Anschaulich i​st sie d​ie Bahn e​ines Fadenendes, w​enn man d​en Faden gestrafft v​om Umfang e​ines Kreises abwickelt.[1]

Kreisevolvente

Ineinander greifende Zahnradzähne
Autor: Claudio Rocchini

Eigenschaften

Die Kreisevolvente i​st eine Spirale m​it konstantem Windungsabstand. Diese Eigenschaft w​ird oft fälschlicherweise d​er archimedischen Spirale zugeschrieben. Die Kreisevolvente i​st damit i​hre eigene Parallelkurve.

Mathematische Darstellung

Die Parameterdarstellung der Kreisevolvente des Einheitskreises, die bei ${\displaystyle (1,0)}$ mit Anfangssteigung ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}|_{(1,0)}=0}$ startet, lautet mit ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{0}^{+}}$:

${\displaystyle x(t)=\cos(t)+t\sin(t)}$

${\displaystyle y(t)=\sin(t)-t\cos(t)}$

Dabei ist der Parameter ${\displaystyle t}$ die Länge des abgewickelten Stück Fadens, also die (abgewickelte) Bogenlänge auf dem zugrunde liegenden Einheitskreis. Für die Bogenlänge der konstruierten Evolvente gilt

${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}t^{2}}$

und für i​hre Krümmung

${\displaystyle \kappa ={\tfrac {1}{t}}}$,

womit der Parameter ${\displaystyle t}$ auch gleichzeitig ihr Krümmungsradius ist. In Polarkoordinaten lautet ihre Darstellung:

${\displaystyle r(t)={\sqrt {1+t^{2}}}}$

${\displaystyle \varphi (t)=t-\arctan(t)}$

Alle anderen geometrisch kongruenten Kreisevolventen gehen aus ihr durch Drehung um den Koordinatenursprung und Verschiebung hervor. Ferner lässt sich die Kurvendefinition auch auf alle ${\displaystyle t<0}$ natürlich fortsetzen, wobei alle Formeln zur Kurvengeometrie bis auf die der Bogenlänge gültig bleiben, welche zu ${\displaystyle s={\tfrac {\operatorname {sgn}(t)}{2}}t^{2}}$ verallgemeinert wird. Geometrisch erhält die ursprüngliche Kurve einen weiteren Ast, der durch Spiegelung ihrer selbst an der x-Achse erzeugt wird.

Siehe auch

• Involut-Funktion

Literatur

• Mark Ja. Vygodskij: Höhere Mathematik griffbereit: Definitionen Theoreme Beispiele. Springer, 2013, ISBN, S. 729–731
• Joachim Erven, Dietrich Schwägerl: Mathematik für Ingenieure. Walter de Hruyter, 4. Auflage 2011, ISBN 9783486707960, S. 216-217

Weblinks

• Nora Rebecca Thomas: Geometrische Eigenschaften von Kurven. Staatsexamensarbeit, Uni Main, 2010, S. 22–28

Einzelnachweise

1. Kreisevolvente. Bei: mathe.tu-freiberg.de.