Komplexes Volumen
In der Mathematik ist das komplexe Volumen eine Invariante 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. Für Komplemente von Knoten und Verschlingungen stellt die Volumenvermutung einen Zusammenhang zwischen dem komplexen Volumen und der Asymptotik von Quanteninvarianten her.
Definition
Für eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens wird das komplexe Volumen definiert als
- ,
wobei das hyperbolische Volumen und die SO(3)-Chern-Simons-Invariante des Levi-Civita-Zusammenhangs ist.
Allgemeiner kann man für Darstellungen das komplexe Volumen definieren als
- ,
wobei das flache Bündel mit Holonomie ,
seine 2. Cheeger-Chern-Simons-Klasse und
die Fundamentalklasse von ist.
Die Volumen-Vermutung postuliert für hyperbolische Knoten die Gleichung
- ,
wobei das -te gefärbte Jones-Polynom von bezeichnet.