Komplexes Volumen

In d​er Mathematik i​st das komplexe Volumen e​ine Invariante 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. Für Komplemente v​on Knoten u​nd Verschlingungen stellt d​ie Volumenvermutung e​inen Zusammenhang zwischen d​em komplexen Volumen u​nd der Asymptotik v​on Quanteninvarianten her.

Definition

Für eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens wird das komplexe Volumen definiert als

,

wobei das hyperbolische Volumen und die SO(3)-Chern-Simons-Invariante des Levi-Civita-Zusammenhangs ist.

Allgemeiner kann man für Darstellungen das komplexe Volumen definieren als

,

wobei das flache Bündel mit Holonomie ,

seine 2. Cheeger-Chern-Simons-Klasse u​nd

die Fundamentalklasse von ist.

Die Volumen-Vermutung postuliert für hyperbolische Knoten die Gleichung

,

wobei das -te gefärbte Jones-Polynom von bezeichnet.

Literatur

  • W. D. Neumann: Extended Bloch group and the Cheeger-Chern-Simons class. Geom. Topol. 8, 413–474 (2004). pdf
  • S. Garoufalidis, D. Thurston, C. Zickert: The complex volume of SL(n,C)-representations of 3-manifolds. Duke Math. J. 164, 2099–2160 (2015). pdf
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