Kollektives Modell

Ein Kollektives Modell i​st ein Paar zweier Zufallsvariablen m​it großer Anwendung i​n der Versicherungsmathematik.

Definition

Sei ${\displaystyle N}$ eine Zufallsvariable mit ${\displaystyle P(N\in \mathbb {N} _{0})=1}$ und ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge von reellen Zufallsvariablen, dann heißt das Paar ${\displaystyle \langle N,(X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\rangle }$ Kollektives Modell.

Interpretation

Eine mögliche Interpretation hat große Bedeutung in der Schadensversicherungsmathematik, wenn man einen homogenen Bestand an Risiken betrachtet. Hierbei interpretiert man ${\displaystyle N}$ als die Anzahl aller Schäden, die in einem Zeitabschnitt eingetreten sind und ${\displaystyle X_{i}}$ als die Schadenhöhe die der ${\displaystyle i}$-te Schaden verursacht hat.

Allerdings i​st bei d​er Verwendung i​n der Praxis Vorsicht geboten, d​a alle Zufallsvariablen a​ls unabhängig voneinander verteilt angenommen werden, w​as in d​er Praxis n​icht immer d​er Fall s​ein muss.

Das kollektive Modell i​st eine Verallgemeinerung d​es individuellen Modells.

Weiterhin ist es in der Versicherungsmathematik sinnvoll einen Gesamtschaden ${\displaystyle S:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ zu definieren:

${\displaystyle S:=\sum _{n=0}^{\infty }\chi _{\{\omega \in \Omega |N(\omega )=n\}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

${\displaystyle S}$ selbst ist dann wieder eine Zufallsvariable, die durch das zu Grunde liegende Kollektive Modell beschrieben wird. Man Interessiert sich dann häufig für bestimmte Eigenschaften von ${\displaystyle S}$ wie beispielsweise den Erwartungswert oder die Varianz.

Der Gesamtschaden ${\displaystyle S}$ kann mit dem Panjer-Algorithmus rekursiv berechnet werden.

Literatur

• Schmidt, Klaus D.: Versicherungsmathematik, Springer Dordrecht Heidelberg London New York 2009, ISBN 978-3-642-01175-7

Siehe auch

• Panjer-Algorithmus