Kernsatz von Schwartz

Der Kernsatz v​on Schwartz (oder Satz v​om Kern) i​st eine wichtige mathematische Aussage i​m Bereich d​er Distributionentheorie, welche e​in Teilgebiet d​er Funktionalanalysis ist. Sie w​urde von d​em Mathematiker Laurent Schwartz i​m Jahr 1952 bewiesen. Diese Aussage w​ird jedoch n​icht auf Grund i​hrer Wichtigkeit Kernsatz genannt, sondern w​eil es s​ich um e​ine Aussage über Integralkerne handelt. Diese h​ier behandelten Integralkerne werden Schwartz-Kerne genannt.

Einleitung

Mit jeder Funktion ${\displaystyle K\in C(X_{1}\times X_{2})}$ kann man einen Integraloperator ${\displaystyle A:C_{c}(X_{2})\to C(X_{1})}$ durch

${\displaystyle A(\phi )(x_{1})=\int _{X_{2}}K(x_{1},x_{2})\phi (x_{2})\mathrm {d} x_{2}}$

definieren. Das Symbol ${\displaystyle C_{c}}$ bezeichnet die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger. Außerdem gilt die Identität

${\displaystyle \langle A(\phi ),\psi \rangle =K(\psi \otimes \phi )}$

für alle ${\displaystyle \psi \in C_{c}^{\infty }(X_{1})}$ und ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(X_{2})}$ , wobei ${\displaystyle K(\psi \otimes \phi )}$ hier als ${\displaystyle L^{2}}$ -Skalarprodukt zu verstehen und das Tensorprodukt zweier Funktionen durch

${\displaystyle (\psi \otimes \phi )(x_{1},x_{2}):=\psi (x_{1})\phi (x_{2}).}$

definiert ist. Im Folgenden soll diese Idee auf die Distributionentheorie erweitert werden. Sei dazu also ${\displaystyle K\in {\mathcal {D}}'(X_{1}\times X_{2})}$ und ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(X_{2})}$ . Außerdem darf ${\displaystyle A(\phi )}$ wieder eine Distribution sein.

Kernsatz von Schwartz

Jede Distribution ${\displaystyle K\in {\mathcal {D}}'(X_{1}\times X_{2})}$ definiert eine lineare Abbildung ${\displaystyle A:C_{c}^{\infty }(X_{2})\to {\mathcal {D}}'(X_{1})}$ , welche der Identität

${\displaystyle \langle A(\phi ),\psi \rangle =K(\psi \otimes \phi )}$

genügt und bezüglich der schwach-*-Topologie stetig ist. Das heißt, falls ${\displaystyle \phi _{j}\to 0}$ ein Nullfolge ist, so ist auch ${\displaystyle A(\phi _{j})\to 0}$ eine Nullfolge in ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(X_{1}).}$

Umgekehrt gibt es zu jeder linearen Abbildung ${\displaystyle A:C_{c}^{\infty }(X_{2})\to {\mathcal {D}}'(X_{1})}$ genau eine Distribution ${\displaystyle K}$ , so dass ${\displaystyle \langle A(\phi ),\psi \rangle =K(\psi \otimes \phi )}$ gilt.

Diese Distribution ${\displaystyle K}$ heißt Schwartz-Kern.

Literatur

• Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).