Karlovitz-Zahl

Die Karlovitz-Zahl wird zur Beschreibung von turbulenten Verbrennungsprozessen verwendet und setzt sich aus dem Verhältnis der Zeitskala für die Ausbreitung der laminaren Flamme ${\displaystyle \tau _{\mathrm {L} }}$ zur kleinsten turbulenten Zeitskala ${\displaystyle \tau _{\mathrm {K} }}$ (Kolmogorov-Zeit) zusammen:

${\displaystyle {\mathit {Ka}}={\frac {\tau _{\mathrm {L} }}{\tau _{\mathrm {K} }}}}$

Physikalische Kennzahl
Name	Karlovitz-Zahl
Formelzeichen	${\displaystyle {\mathit {Ka}}}$
Dimension	dimensionslos
Definition	${\displaystyle {\mathit {Ka}}={\frac {\tau _{\mathrm {L} }}{\tau _{\mathrm {K} }}}}$
${\displaystyle \tau _{\mathrm {L} }}$ Zeitskala für Ausbreitung der laminaren Flamme ${\displaystyle \tau _{\mathrm {K} }}$ kleinste turbulente Zeitskala
Benannt nach	Béla Karlovitz
Anwendungsbereich	turbulente Verbrennungsprozesse

Die laminare Flammen-Zeitskala ${\displaystyle \tau _{\mathrm {L} }}$ wird dabei üblicherweise als diejenige Zeit definiert, die die laminare Flammenfront benötigt, um sich durch Flammenpropagation mit der laminaren Flammengeschwindigkeit ${\displaystyle s_{\mathrm {L} }}$ um eine Strecke fortzubewegen, die gleich groß wie die laminare Flammenfrontdicke (inklusive ihrer Vorwärmschicht) ${\displaystyle l_{\mathrm {L} }}$ ist. Sie lässt sich auch über das Verhältnis der Diffusionskonstante ${\displaystyle D}$ zum Quadrat der laminaren Flammengeschwindigkeit beschreiben:[1][2]

${\displaystyle \tau _{\mathrm {L} }={\frac {l_{\mathrm {L} }}{s_{\mathrm {L} }}}={\frac {D}{s_{\mathrm {L} }^{2}}}}$

Falls ${\displaystyle {\mathit {Ka}}\ll 1}$, läuft die Wärme- und Stoffdiffusion innerhalb der Flammenfront viel schneller als alle Turbulenzzeitskalen ab. Somit werden die lokale Flammenstruktur und der Bereich der chemischen Reaktion nicht von Turbulenzen verändert, bzw. beeinflusst und es herrschen innerhalb der Flamme laminare Bedingungen. Die Flamme lässt sich in diesem Fall meist gut mit einem Flamelet-Ansatz beschreiben, bei dem angenommen wird, dass sich die Flammenfront in lokaler Näherung vollständig laminar verhält.

Falls ${\displaystyle {\mathit {Ka}}\geq 1}$, sind die kleinsten turbulenten Wirbel gleich groß oder kleiner als die Dicke der Vorwärmschicht in der Flammenfront. Dadurch kann es zu einem turbulenten Wärme- und Stofftransport innerhalb der Flammenfront kommen. Dieser führt sowohl zu einer Verbreiterung der Flammenfront als auch zu einer Erhöhung der turbulenten Flammengeschwindigkeit[3].

Die Namensgebung d​er dimensionslosen Kennzahl bezieht s​ich auf d​en ungarischen Physiker Béla Karlovitz.[4]

Zusammenhang mit anderen Größen

Nach obiger Definition d​er Karlovitz-Zahl lässt s​ich das Verhältnis a​uch über Längenskalen o​der Geschwindigkeiten ausdrücken[1]:

${\displaystyle {\mathit {Ka}}={\frac {l_{\mathrm {L} }^{2}}{\lambda _{\mathrm {K} }^{2}}}={\frac {v_{\mathrm {K} }^{2}}{s_{\mathrm {L} }^{2}}}}$

Hierbei stehen ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {K} }}$ für die Kolmogorov-Länge (also der kleinsten Längenskala, die von der Turbulenz beeinflusst wird) und ${\displaystyle v_{\mathrm {K} }}$ für die Kolmogorov-Geschwindigkeit (also der Umlaufgeschwindigkeit von Wirbeln mit dem Durchmesser der Kolmogorov-Länge).

Unter der Annahme, dass für die Schmidt-Zahl ${\displaystyle {\mathit {Sc}}\approx 1}$ gilt, dass also die kinematische Viskosität etwa gleich groß wie die stoffliche Diffusionskonstante ist, kann man die Karlovitz-Zahl, die Damköhler-Zahl ${\displaystyle {\mathit {Da}}}$ und die Reynolds-Zahl ${\displaystyle {\mathit {Re}}}$ näherungsweise in folgende Beziehung zueinander setzen:[1]

${\displaystyle {\mathit {Re}}\approx {\mathit {Da}}^{2}{\mathit {Ka}}^{2}}$

Alternative Definition

Ersetzt man in obiger Gleichung die laminare Flammen-Zeitskala durch die Reaktions-Zeitskala ${\displaystyle \tau _{\mathrm {R} }}$, lässt sich eine Karlovitz-Zahl für den Einfluss der Turbulenz auf die Reaktionsschicht definieren:

${\displaystyle {\mathit {Ka}}_{\mathrm {R} }:={\frac {\tau _{\mathrm {R} }}{\tau _{\mathrm {K} }}}}$

Analog zur Definition der laminaren Flammen-Zeitskala beschreibt die Reaktions-Zeitskala diejenige Zeit, die die Flammenfront benötigt, um durch Flammenpropagation eine Strecke zurückzulegen, die gleich groß wie die Dicke der Reaktionsschicht ${\displaystyle l_{\mathrm {R} }}$ ist. Die Reaktionsschicht ist derjenige Abschnitt innerhalb der Flammenfront, in dem die chemischen Reaktionen ablaufen. In einer laminaren Flammenfront ist die Reaktionsschicht erheblich dünner als die durch Stoff- und Wärmediffusion geprägte Vorwärmschicht. Das Größenverhältnis wird oft mit einem Faktor ${\displaystyle \delta \equiv {\frac {l_{\mathrm {R} }}{l_{\mathrm {L} }}}}$ beschrieben. Es gilt also

${\displaystyle {\mathit {Ka}}_{\mathrm {R} }={\frac {l_{\mathrm {R} }^{2}}{\lambda _{\mathrm {K} }^{2}}}=\delta ^{2}{\mathit {Ka}}}$.

Typischerweise ist ${\displaystyle \delta }$ eine Zahl der Größenordnung ${\displaystyle O(10)}$.

Analog z​ur obigen Beschreibung lässt s​ich hier feststellen:

Falls ${\displaystyle {\mathit {Ka}}_{\mathrm {R} }\ll 1}$, laufen die chemischen Reaktionen viel schneller als alle Turbulenzzeitskalen ab. Somit wird die interne Struktur der Reaktionsschicht nicht von Turbulenzen verändert, und es herrschen innerhalb der Reaktionsschicht laminare Bedingungen.

Falls ${\displaystyle {\mathit {Ka}}_{\mathrm {R} }\geq 1}$, sind die kleinsten turbulenten Wirbel gleich groß oder kleiner als die Dicke der Reaktionsschicht in der Flammenfront. Dadurch kann es rein theoretisch zu einer turbulenten Verbreiterung der Reaktionsschicht kommen. In extremen Fällen würde dies zu einer homogenen Verteilung der chemischen Reaktionen über ein makroskopisches Volumen führen (perfekter Rührreaktor). Viel wahrscheinlicher ist es allerdings, dass bei einer derart intensiven turbulenten Störung der Reaktionsschicht lokale Verlöschungen auftreten und die Flammenfront aufbricht oder sogar gänzlich erlischt.[1][3]

Einzelnachweise

1. Norbert Peters: Turbulent Combustion. Cambridge University Press, 2000, S. 78–79.
2. Jürgen Warnatz, Ulrich Maas, Robert Dibble: Combustion, Physical and Chemical Fundamentals, Modeling and Simulation, Experiments, Pollutant Formation, 3rd Edition. Springer, 2001, S. 201–204.
3. Chung K. Law: Combustion Physics. Cambridge University Press, 2006, S. 496–500.
4. Bernard Lewis: Address by Dr. Bernard Lewis, Remarks on Combustion Science In: Symposium (International) on Combustion Volume 7 (Issue 1), 1958, S. xxxi–xxxv.