Kardar-Parisi-Zhang-Gleichung

Die Kardar-Parisi-Zhang-Gleichung (KPZ-Gleichung) i​st eine nicht-lineare stochastische partielle Differentialgleichung (sPDGL), d​ie u. a. i​n der statistischen Mechanik vorkommt. Die Gleichung beschreibt d​as stochastische Grenzflächenwachstum für a​us der Atmosphäre a​uf die Oberfläche fallende Partikel. Sie i​st die stochastische Raumzeitevolution d​er Fluktuation.

Die Gleichung w​urde von d​en Physikern Mehran Kardar, Giorgio Parisi u​nd Yi-Cheng Zhang i​m Jahr 1986 eingeführt.

Definition

Die KPZ-Gleichung i​st definiert als[1]

${\displaystyle \partial _{t}h=\nu \nabla ^{2}h+{\frac {\lambda }{2}}(\nabla h)^{2}+\eta .}$

wobei

• ${\displaystyle h({\vec {x}},t)}$ ein Höhenfeld der Oberfläche mit Raumkoordinate ${\displaystyle {\vec {x}}}$ und Zeitkoordinate ${\displaystyle t}$ ist.
• ${\displaystyle \nu \nabla ^{2}h}$ ein glättender Diffusionsterm ist.
• ${\displaystyle {\frac {\lambda }{2}}(\nabla h)^{2}}$ ein nicht-linear wachsender Ausdruck ist.
• ${\displaystyle \eta ({\vec {x}},t)}$ ist raumzeitliches weißes gaußsches Rauschen mit ${\displaystyle \mathbb {E} [\eta ]=0}$ und ${\displaystyle \operatorname {Var} [\eta ]=2D\delta (t-t')\delta ^{d}({\vec {x}}-{\vec {x}}')}$.
• ${\displaystyle \nu ,\lambda }$ sind Parameter, ${\displaystyle D}$ die Amplitude des Rauschens und ${\displaystyle d}$ ist die Dimension des Modells.

Lösung der Gleichung

2012 veröffentlichte d​er österreichische Mathematiker Martin Hairer e​ine Lösung, d​ie die bestehende Cole-Hopf-Lösung erweitert. 2014 b​ekam er u​nter anderem dafür d​ie Fields-Medaille.[2]

Einzelnachweise

1. Tomohiro Sasamoto, Herbert Spohn: One-Dimensional Kardar-Parisi-Zhang Equation: An Exact Solution and its Universality. In: Physical Review Letters. Nr. 23, 2010, doi:10.1103/physrevlett.104.230602.
2. Martin Hairer: Solving the KPZ equation. 2012, arxiv:1109.6811.