Hopf-Cole-Transformation

Die Hopf-Cole-Transformation i​st eine mathematische Transformation, d​ie es erlaubt, d​ie nichtlineare (viskose) Burgersgleichung a​uf die lineare Wärmeleitungsgleichung zurückzuführen u​nd damit z​u lösen. Die Transformation w​urde 1950 bzw. 1951 v​on Eberhard Hopf bzw. Julian Cole unabhängig voneinander entdeckt.

Details

Die eindimensionale viskose Burgersgleichung

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

wird d​urch die Transformation

${\displaystyle u=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\log(\phi )}$

in d​ie Wärmeleitungsgleichung

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}}$

überführt. Daraus ergibt s​ich für d​ie Lösung d​es Cauchy-Problems d​er ursprünglichen Gleichung folgende Formel:

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\log \left((4\pi \nu t)^{-1/2}\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\Bigl [}-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x'}u(x'',0)dx''{\Bigr ]}dx'\right).}$

Verallgemeinerung

Etwas allgemeiner w​ird die quasilineare parabolische Differentialgleichung

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+-a\Delta u+b|\mathrm {grad} \,u|^{2}=0}$

durch d​ie Transformation

${\displaystyle u=-{\frac {a}{b}}\log(\phi )}$

in d​ie Wärmeleitungsgleichung

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}-a\Delta \phi =0}$

überführt.

Quellen

• J. D. Cole: On a quasi-linear parabolic equation occurring in aerodynamics. In: Quart. Appl. Math. 9, 1951, S. 225–236.
• L. Debnath: Nonlinear partial differential equations for scientists and engineers. Birkhäuser, 1997, ISBN 0-8176-3902-0, S. 289–293.
• L. C. Evans: Partial Differential Equations. American Mathematical Society, 1999, ISBN 0-8218-0772-2, S. 194–195.
• E. Hopf: The partial differential equation ut + uux = μuxx. In: Commun. Pure Appl. Math. 3, 1950, S. 201–230.