James-Raum

Der James-Raum, benannt n​ach Robert C. James u​nd eingeführt 1951, i​st ein i​n der Mathematik betrachteter, spezieller Vektorraum. Es handelt s​ich um e​inen Banachraum, d​er isometrisch isomorph z​u seinem Bidualraum ist, o​hne reflexiv z​u sein.[1] Lange Zeit i​st diese Eigenschaft für unmöglich gehalten worden. Der James-Raum k​ann auch z​ur Konstruktion weiterer Beispiele herangezogen werden.

Definition

Als Menge ist der James-Raum ${\displaystyle J}$ im Folgenraum ${\displaystyle c_{0}}$ der reellen Nullfolgen enthalten. Für eine Folge ${\displaystyle (\alpha _{n})_{n}\in c_{0}}$ definiere ${\displaystyle \|(\alpha _{n})_{n}\|_{a}\in [0,\infty ]}$ als Maß für die Variation der Folgenglieder durch

${\displaystyle \|(\alpha _{n})_{n}\|_{a}\,:=\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sup \left\{\left(\sum _{n=1}^{m-1}(\alpha _{p_{n}}-\alpha _{p_{n+1}})^{2}+(\alpha _{p_{m}}-\alpha _{p_{1}})^{2}\right)^{\frac {1}{2}};\,m\geq 2,\,p_{1}<\ldots <p_{m}\right\}.}$

Das Supremum wird dabei über alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle m\geq 2}$ und alle streng aufsteigenden Folgen ${\displaystyle p_{1}<\ldots <p_{m}}$ natürlicher Zahlen gebildet. Schließlich sei

${\displaystyle J:=\{(\alpha _{n})_{n}\in c_{0};\,\|(\alpha _{n})_{n}\|_{a}<\infty \}.}$

${\displaystyle J}$ ist damit die Menge der reellen Nullfolgen ${\displaystyle (\alpha _{n})_{n}}$, deren Schwankung im Sinne der Zahl ${\displaystyle \|(\alpha _{n})_{n}\|_{a}}$ beschränkt ist. So liegt zum Beispiel die Folge ${\displaystyle (\alpha _{n})_{n}=(1,-1,{\frac {1}{\sqrt {2}}},-{\frac {1}{\sqrt {2}}},{\frac {1}{\sqrt {3}}},-{\frac {1}{\sqrt {3}}},\ldots ,{\frac {1}{\sqrt {n}}},-{\frac {1}{\sqrt {n}}},\ldots )}$ nicht in ${\displaystyle J}$.

Man kann zeigen, dass ${\displaystyle J}$ ein Vektorraum bzgl. der komponentenweisen Operationen ist und dass ${\displaystyle \|\cdot \|_{a}}$ eine Norm ist, die ${\displaystyle J}$ zu einem Banachraum macht. Das ist der sogenannte James-Raum.

Basis in J

Sei ${\displaystyle e_{n}}$ der ${\displaystyle n}$-te Einheitsvektor in ${\displaystyle J}$, das heißt ${\displaystyle e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots )}$, wobei die 1 an der ${\displaystyle n}$-ten Stelle steht. Man kann zeigen, dass ${\displaystyle (e_{n})_{n}}$ eine monotone, schrumpfende Basis in ${\displaystyle J}$ ist und daher ${\displaystyle \|(\alpha _{n})_{n}\|_{a}=\lim _{m\to \infty }\|\sum _{n=1}^{m}\alpha _{n}e_{n}\|_{a}=\sup _{m\in \mathbb {N} }\|\sum _{n=1}^{m}\alpha _{n}e_{n}\|_{a}}$ gilt.

Bidualraum

Ausgehend von den Eigenschaften der Basis ${\displaystyle (e_{n})_{n}}$ kann man zeigen, dass die kanonische Einbettung ${\displaystyle Q:J\rightarrow J^{''}}$ in den Bidualraum nicht surjektiv ist, genauer ist die Kodimension von ${\displaystyle Q(J)}$ in ${\displaystyle \,J^{''}}$ gleich 1, das heißt ${\displaystyle J^{''}/Q(J)\cong \mathbb {R} }$.[2]

${\displaystyle J}$ ist daher nicht reflexiv. Dennoch gelingt es, einen isometrischen Isomorphismus zwischen ${\displaystyle \,J}$ und ${\displaystyle \,J^{''}}$ zu konstruieren. Die Beweise sind sehr technisch und werden daher hier nicht weiter besprochen.

Gegenbeispiele

Der James-Raum k​ann zur Konstruktion e​iner Reihe v​on Gegenbeispielen verwendet werden. Obige Betrachtung zeigt, d​ass ein Banachraum, d​er isometrisch isomorph z​u seinem Bidualraum ist, n​icht notwendig reflexiv ist, w​as eine ältere Vermutung widerlegt.

Viele unendlich-dimensionale Banachräume ${\displaystyle X}$ haben die Eigenschaft ${\displaystyle X\oplus X\cong X}$. Alle unendlich-dimensionalen Hilberträume haben diese Eigenschaft, denn nach dem Satz von Fischer-Riesz sind diese isomorph zu ${\displaystyle \ell ^{2}(I)}$ für unendliches ${\displaystyle I}$, und es ist ${\displaystyle \ell ^{2}(I)\oplus \ell ^{2}(I)\cong \ell ^{2}(I\times \{0,1\})\cong \ell ^{2}(I)}$. Auch für den Folgenraum ${\displaystyle c_{0}}$ sieht man leicht, dass ${\displaystyle ((\alpha _{n})_{n},(\beta _{n})_{n})\mapsto (\alpha _{1},\beta _{1},\alpha _{2},\beta _{2},\ldots )}$ ein isometrischer Isomorphismus ${\displaystyle c_{0}\oplus c_{0}\cong c_{0}}$ ist.

Für den James-Raum gilt das nicht, denn man kann zeigen, dass im Falle ${\displaystyle J\oplus J\cong J}$ auch ${\displaystyle \mathbb {R} \cong J^{''}/Q(J)\cong (J\oplus J)^{''}/Q(J\oplus J)\cong J^{''}/Q(J)\oplus J^{''}/Q(J)\cong \mathbb {R} ^{2}}$ gelten müsste, was aber offensichtlich nicht der Fall ist.

Aus einem ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachraum ${\displaystyle X}$ kann man durch Einschränkung der Skalarmultiplikation auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ einen reellen Vektorraum ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ machen. ${\displaystyle J}$ ist ein Beispiel für einen reellen Banachraum, der nicht isomorph zu einem ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ für einen komplexen Banachraum ${\displaystyle X}$ ist. Wäre nämlich ${\displaystyle J\cong X_{\mathbb {R} }}$, so könnte auch ${\displaystyle X}$ nicht reflexiv sein, ${\displaystyle Q(X)}$ hätte also mindestens die komplexe Kodimension 1 und daher die reelle Kodimension 2 in ${\displaystyle \,X^{''}}$, aber die reelle Kodimension von ${\displaystyle Q(J)}$ im Bidual ist 1.

Der James-Raum ist auch ein Beispiel für einen Banachraum mit einer Schauderbasis, der keine unbedingte Basis besitzt. Dass J keine unbedingte Basis besitzt, folgt aus der Tatsache, dass der Bidualraum eines unendlich-dimensionalen Banachraums mit unbedingter Basis nicht separabel ist, ${\displaystyle J^{''}}$ aber ist separabel, da ${\displaystyle J}$ es ist und ${\displaystyle J\cong Q(J)}$ 1-kodimensional in ${\displaystyle J^{''}}$ ist.

Einzelnachweise

1. James A non-reflexive Banach space isometric with its second conjugate space, Proceedings National Academy of Sciences, Bd. 37, 1951, S. 174–177, Online, PDF-Datei
2. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory, Springer New York (1998), ISBN 0-387-98431-3, Kapitel 4.5 - James Space