Inexaktes Differential

Ein inexaktes Differential (auch unvollständiges Differential) i​st ein Differential, welches k​ein vollständiges Differential ist. Mathematisch genauer ausgedrückt handelt e​s sich u​m eine Differentialform d​er Stufe 1, d​ie nicht d​as totale Differential e​iner Funktion ist.

Inexakte Differentiale werden häufig so notiert, als handle es sich um das Differential einer Funktion, jedoch mit einem ${\displaystyle \delta }$ statt einem ${\displaystyle \mathrm {d} }$.
Beispielsweise ist

${\displaystyle \delta f=g(x,y)\,\mathrm {d} x+h(x,y)\,\mathrm {d} y}$

ein inexaktes Differential, falls ${\displaystyle {\tfrac {\partial g}{\partial y}}\neq {\tfrac {\partial h}{\partial x}}}$, da dann die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt ist. D. h. es gibt zu ${\displaystyle \delta f}$ keine Funktion ${\displaystyle f}$.

In der Thermodynamik haben Prozessgrößen, z. B. die Wärme ${\displaystyle Q}$, die ein System mit seiner Umgebung austauscht, inexakte Differentiale ${\displaystyle \delta Q}$. Denn ${\displaystyle Q}$ ist keine Funktion des Zustands, sondern hängt ab von der Prozessführung (siehe Wegintegral), daher ist das geschlossene Wegintegral typischerweise

${\displaystyle \oint _{C}\delta Q=Q_{C}\neq 0,}$

im Gegensatz z​u einem geschlossenen Wegintegral e​iner Zustandsvariable:

${\displaystyle \oint _{C}dF=0.}$

In manchen Fällen kann ein inexaktes Differential durch Multiplikation mit einem integrierenden Faktor in ein exaktes Differential überführt werden, beispielsweise gilt für die Entropie ${\displaystyle dS=\delta Q/T}$ wobei der integrierende Faktor somit ${\displaystyle 1/T}$ (die inverse absolute Temperatur) ist. Ein anderes Beispiel ist ${\displaystyle \delta W/p=-dV}$ (mit Druck ${\displaystyle p}$ Volumen ${\displaystyle V}$ und (wegabhängiger) Arbeit ${\displaystyle W}$)

Siehe auch

• Thermodynamischer Kreisprozess

Literatur

• Eric W. Weisstein: Inexact Differential. In: MathWorld (englisch).