Hyperrechteck

Ein Hyperrechteck o​der auch Hyperquader i​st in d​er Geometrie d​ie Verallgemeinerung d​es Rechtecks u​nd des Quaders a​uf beliebig v​iele Dimensionen. Der Hyperwürfel i​st ein Spezialfall davon.

Zweidimensionale Projektion eines vierdimensionalen Hyperrechtecks.

Definition

Ein achsenparalleles Hyperrechteck ${\displaystyle R}$ im ${\displaystyle n}$-dimensionalen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist das kartesische Produkt von ${\displaystyle n}$ reellen Intervallen ${\displaystyle [a_{i},b_{i}]}$ mit ${\displaystyle a_{i}\leq b_{i}}$ für ${\displaystyle i=1,\dotsc ,n}$, das heißt

${\displaystyle R=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \dotsb \times [a_{n},b_{n}]}$.

Im Allgemeinen i​st ein Hyperrechteck e​ine Figur, d​ie kongruent i​st mit e​inem achsenparallelen Hyperrechteck.

Beispiele

Für ${\displaystyle n=1}$ erhält man so ein Intervall, für ${\displaystyle n=2}$ ein Rechteck und für ${\displaystyle n=3}$ einen Quader.

Für den Spezialfall, dass alle Intervalle gleich dem Einheitsintervall ${\displaystyle [0,1]}$ sind, erhält man den Einheitshyperwürfel

${\displaystyle R=\prod _{i=1}^{n}[0,1]=[0,1]^{n}}$.

Eigenschaften

Begrenzende Elemente

Jedes ${\displaystyle n}$-dimensionale Hyperrechteck mit ${\displaystyle n\geq 2}$ hat

• ${\displaystyle 2^{n}}$ Ecken,
• ${\displaystyle n2^{n-1}}$ Kanten, die rechtwinklig aufeinanderstoßen, und
• ${\displaystyle 2n}$ Seitenflächen, die ihrerseits Hyperrechtecke der Dimension ${\displaystyle n-1}$ sind.

Allgemein wird ein ${\displaystyle n}$-dimensionales Hyperrechteck von

${\displaystyle {\binom {n}{k}}\cdot 2^{n-k}}$

Hyperrechtecken der Dimension ${\displaystyle k}$ begrenzt, wobei ${\displaystyle k\in \{0,\dotsc ,n-1\}}$ ist.

Volumen und Oberfläche

Das Volumen eines Hyperrechtecks ${\displaystyle R}$ beträgt

${\displaystyle \operatorname {vol} (R)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})=(b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})\dotsm (b_{n}-a_{n})}$.

Das ist der Ausgangspunkt für die Volumenbestimmung sehr viel allgemeinerer Mengen, wie in der Konstruktion des ${\displaystyle n}$-dimensionalen Lebesguemaßes in der Maßtheorie deutlich wird.

Der Oberflächeninhalt beträgt

${\displaystyle \operatorname {vol} (\partial R)=2\sum _{j=1}^{n}\prod _{i=1 \atop i\neq j}^{n}(b_{i}-a_{i})}$.

Siehe auch

• Hyperwürfel – Spezialisierung für gleiche Kantenlängen
• Hilbertwürfel für den unendlichdimensionalen Fall
• Hyperebene
• Hyperpyramide
• Hypersphäre
• Hyperraum

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Orthotope. In: MathWorld (englisch).