Hurwitzpolynom

Ein Hurwitzpolynom (nach Adolf Hurwitz) i​st ein reelles Polynom, dessen Nullstellen a​lle einen e​cht negativen Realteil haben.

Definition und notwendige Bedingung

Ein reelles Polynom (alle ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} }$)

${\displaystyle N(s)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}=a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_{0}}$

wird a​lso Hurwitzpolynom genannt, w​enn gilt:

${\displaystyle N(r_{i})=0\,\Rightarrow \,\mathrm {Re} \,r_{i}<0,\quad i=1,\ldots ,n.}$

Für den Fall eines Polynoms 1. oder 2. Grades (${\displaystyle n\leq 2}$) kann man zeigen, dass die Koeffizienten des normierten Hurwitzpolynoms (${\displaystyle a_{n}=1}$) positiv sein müssen. Im Umkehrschluss muss ein normiertes Polynom mit reellen Koeffizienten, bei dem ein Koeffizient kleiner oder gleich Null ist, eine Nullstelle haben, die keinen echt negativen Realteil besitzt. Die Bedingung, dass die Koeffizienten positiv sind, ist also notwendig und auch hinreichend.

Für ${\displaystyle n\geq 3}$ (ein Polynom dritten oder höheren Grades) wird eine neue hinreichende und notwendige Bedingung benötigt: die Hurwitzdeterminante.

Hurwitzkriterium

Im Folgenden gehen wir davon aus, dass der Leitkoeffizient ${\displaystyle a_{n}}$ positiv ist. Ist dieses im ursprünglichen Polynom nicht der Fall, kann es durch Multiplikation des Polynoms mit ${\displaystyle -1}$ erreicht werden. Dabei ändern sich die Nullstellen des Polynoms nicht. Aus den Koeffizienten des Polynoms ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ wird zunächst die Determinante der Hurwitzmatrix, die sogenannte Hurwitzdeterminante gebildet. Hierbei ist die Hurwitzmatrix den Koeffizienten ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ entsprechend eine ${\displaystyle n\times n}$-Matrix. (s. u.)

${\displaystyle H={\begin{vmatrix}a_{n-1}&a_{n-0}&0&0&\ldots &\ldots \\a_{n-3}&a_{n-2}&a_{n-1}&a_{n}&\ldots &\ldots \\a_{n-5}&a_{n-4}&a_{n-3}&a_{n-2}&\ldots &\ldots \\a_{n-7}&a_{n-6}&a_{n-5}&a_{n-4}&\ldots &\ldots \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &a_{2}\\0&0&\ldots &\ldots &0&a_{0}\\\end{vmatrix}}}$

Nicht vorhandene Koeffizienten werden a​lso durch e​ine Null ausgedrückt. Das Polynom i​st genau d​ann ein Hurwitzpolynom, w​enn alle „nordwestlichen Unterdeterminanten“ (auch Hauptminoren genannt) positiv sind. Die Matrix i​st dann positiv definit.

Im Beispiel sind die nordwestlichen Unterdeterminanten für den Fall ${\displaystyle n=3}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}&={\begin{vmatrix}a_{2}\end{vmatrix}}&&=a_{2}>0\\[2mm]H_{2}&={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\a_{0}&a_{1}\\\end{vmatrix}}&&=a_{1}a_{2}-a_{3}a_{0}>0\\[2mm]H_{3}&={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}&0\\a_{0}&a_{1}&a_{2}\\0&0&a_{0}\\\end{vmatrix}}&&=a_{0}H_{2}>0\end{aligned}}}$

Falls ${\displaystyle H_{2}>0}$ ist, vereinfacht sich natürlich die dritte Bedingung zu ${\displaystyle a_{0}>0}$. Die Forderung ${\displaystyle a_{1}a_{2}>a_{3}a_{0}}$ ist zum Beispiel für ${\displaystyle a_{0}=a_{1}=a_{2}=a_{3}=1}$ nicht erfüllt.

In der Literatur finden sich auch andere Definitionen der Hurwitzmatrix. Die Koeffizienten sind oft anders benannt. Hurwitz selber hat in seiner Veröffentlichung das Polynom mit ${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n}}$ angesetzt. In diesem Fall wird die Hurwitzdeterminante folgendermaßen gebildet:

${\displaystyle H={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{0}&0&0&\ldots &\ldots \\a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&\ldots &\ldots \\a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&\ldots &\ldots \\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&\ldots &\ldots \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &a_{n-2}\\0&0&\ldots &\ldots &0&a_{n}\\\end{vmatrix}}}$

Anwendung

Hurwitzpolynome werden i​n der Systemtheorie verwendet, u​m ein zeitkontinuierliches System a​uf asymptotische Stabilität h​in zu untersuchen: Ist d​er Nenner d​er Systemfunktion e​in Hurwitzpolynom, s​o ist d​as System asymptotisch stabil.

• Siehe auch: Wurzelsatz von Vieta

Literatur

• Adolf Hurwitz: Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt. In: Mathematische Annalen Nr. 46, Leipzig 1895, S. 273–285
• Jan Lunze: Regelungstechnik 1. Systemtheoretische Grundlagen, Analyse und Entwurf einschleifiger Regelungen. 10. Auflage, Heidelberg 2014, S. 418–420
• Eberhard Zeidler (Hrsg.): Springer-Taschenbuch der Mathematik. 3. Auflage, Wiesbaden 2013, S. 473

Weblinks

• Webseite der ETH "Hurwitz Memorial Lecture Series"
• "Regelungs- und Systemtechnik 1: Hurwitz-Kriterium", Prof. Dr.-Ing. Johann Reger, TU Ilmenau