Hillsche Differentialgleichung (Dreikörperproblem)

Die Hillsche Differentialgleichung w​urde von George William Hill (1838–1914) für Bahnberechnungen i​n der Astronomie entwickelt. Sie w​ird vor a​llem für Lösungen d​es Dreikörperproblems verwendet, a​ber auch b​ei Bewegungen v​on Teilchen i​n Synchrotronen.

Die Hillsche Gleichung stellt e​ine Vorstufe z​u den kanonischen Gleichungen d​ar und arbeitet m​it dimensionslosen Koordinaten u​nd Massen, wodurch d​ie Methodik einfacher u​nd vielfältiger anwendbar wird.

Im Falle des Mehrkörperproblems der Himmelsmechanik – bei dem im Allgemeinen zwei Massen ${\displaystyle M_{1}}$, ${\displaystyle M_{2}}$ stark dominieren – wird z. B. die Masseneinheit mit dem Produkt von (${\displaystyle M_{1}+M_{2}}$) mal Gravitationskonstante gleichgesetzt. Was in Zeiten Hills das Ziel hatte, von den damals noch nicht genau bekannten Zahlengrößen des Sonnensystems (z. B. der Astronomischen Einheit) unabhängig zu werden, entpuppte sich auch als theoretischer Vorteil.

Die Masse des zweitgrößten Körpers (i. A. ein Planet) wird in die Gleichungen als Verhältnis zur Massensumme Sonne+Planet eingeführt, also ${\displaystyle m=M_{2}/(M_{1}+M_{2})}$.

Ferner w​ird das Koordinatensystem i​n das Baryzentrum (den Schwerpunkt v​on M₁ u​nd M₂) gelegt u​nd die x-Achse i​n deren Verbindungslinie. In d​er vereinfachten 2D-Schreibweise (bezogen a​uf die Bahnebene, a​lso z = 0) lauten d​ie Gleichungen:

${\displaystyle x''-2y'=(3-m/d^{3})x=dU/dx}$ und

${\displaystyle y''+2x'=-(m/d^{3})y=dU/dy}$,

wobei ${\displaystyle U=3x^{2}/2+m/d}$ und ${\displaystyle d^{2}=x^{2}+y^{2}}$ (gestrichene Größen sind die ein- bzw. zweifache Ableitungen nach der Zeit). Demnach lassen sich die rechten Seiten der Gleichungen als partielle Ableitungen derselben Funktion U darstellen, was einen wesentlichen Vorteil der Hill-Gleichungen bedeutet.

Literatur

• C. Murray, F. Dermott: Solar System Dynamics. Cambridge University Press, 1999, S. 60–116.
• Manfred Schneider: Himmelsmechanik Band IV. Spektrum, Heidelberg, Berlin 1999, S. 405–440.