Harmonische Folge

Die harmonische Folge i​st die mathematische Zahlenfolge d​er Kehrwerte d​er positiven ganzen Zahlen, a​lso die Folge[1]

${\displaystyle 1,\;{\frac {1}{2}},\;{\frac {1}{3}},\;{\frac {1}{4}},\;{\frac {1}{5}},\cdots }$

Die ersten 10 Folgeglieder der harmonischen Folge

mit d​em allgemeinen Glied

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}\quad n\geq 1}$.

Jedes Glied der harmonischen Folge mit ${\displaystyle n\geq 2}$ ist das harmonische Mittel seiner Nachbarglieder. Die Summation der Folgenglieder ergibt die harmonische Reihe.

Die alternierende harmonische Folge h​at das allgemeine Glied[2]

${\displaystyle a_{n}={\frac {\left(-1\right)^{(n+1)}}{n}}\quad n\geq 1}$.

Für ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ist die verallgemeinerte harmonische Folge die Folge

${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(1,\,{\tfrac {1}{2^{k}}},\,{\tfrac {1}{3^{k}}},\,{\tfrac {1}{4^{k}}},\,{\tfrac {1}{5^{k}}},\,\ldots \right)}$

Eigenschaften

• Die harmonische Folge konvergiert gegen Null:${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}=0}$.

• Die harmonische Folge ist monoton fallend und hat nur strikt positive Folgenglieder.
• Das Maximum der Folgenglieder und damit das Supremum ist 1. Das Infimum der Folgenglieder ist 0, welches aber nicht durch die Folge angenommen wird.

Quellen

1. Uni Heidelberg: Folgen und Reihen Folge (F3) - abgerufen am 3. Januar 2015.
2. Uni Heidelberg: Folgen und Reihen Folge (F7) - abgerufen am 3. Januar 2015.