Haar-Raum

Ein Haar-Raum, o​der Haarscher Raum (benannt n​ach Alfréd Haar) w​ird in d​er Approximationstheorie folgendermaßen definiert:

Besitzen ${\displaystyle n}$ linear unabhängige, auf einem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ stetige Funktionen ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{n}}$ die Eigenschaft, dass jedes Element ${\displaystyle {f}\in \mathrm {span} \left\{g_{1},\dots ,g_{n}\right\},f\neq 0}$, in ${\displaystyle [a,b]}$ höchstens ${\displaystyle (n-1)}$ Nullstellen hat, dann heißt die Menge ${\displaystyle U:=\mathrm {span} \left\{g_{1},\dots ,g_{n}\right\}}$ Haar-Raum.

Ein System solcher Funktionen ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{n}}$, die einen Haar-Raum aufspannen, wird auch Haarsches System oder Tschebyschow-System genannt. Wird eine stetige Funktion durch Elemente eines Haar-Raumes approximiert, so existiert bezüglich der Maximumsnorm ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ stets genau eine beste Approximation.

Interpolation in Haar-Räumen

Hat man ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in [a,b]}$ paarweise verschiedene Punkte (Stützstellen) und Daten ${\displaystyle y_{i},i=1,\dots ,n}$, so existiert genau ein ${\displaystyle g\in U}$ mit ${\displaystyle g(x_{i})=y_{i},i=1,\dots ,n}$. Dies ist äquivalent zur Regularität der Vandermonde-Matrix.

Beweis Die Abbildung ${\displaystyle L\colon U\to [a,b]^{n},f\to \left(f(x_{1}),...f(x_{n})\right)}$ ist linear. Weil jedes ${\displaystyle f\in U}$ höchstens n-1 Nullstellen hat, ist der Kern der Abbildung nur die Nullfunktion, d. h. L ist injektiv. Wegen ${\displaystyle dim[a,b]^{n}=n}$ ist L surjektiv, also insgesamt bijektiv. Daraus folgt Existenz und Eindeutigkeit der Interpolationsfunktion g.

Beispiele

• Der Vektorraum ${\displaystyle \Pi _{n}}$ der Polynome höchstens n-ten Grades ist ein Haar-Raum. ${\displaystyle \left\{1,x,\dots ,x^{n}\right\}}$ ist ein Haarsches System.
• Das System ${\displaystyle \left\{x,\dots ,x^{n}\right\}}$ ist jedoch kein Haarscher Raum.
• Die trigonometrischen Polynome bilden ein Haar-Raum mit Haarschem System ${\displaystyle \left\{1,e^{ix},\dots ,e^{i(n-1)x}\right\}}$ (Polynome in ${\displaystyle e^{ix}}$).
• ${\displaystyle \left\{1,\sin(x),\cos(x),\dots ,\sin(nx),\cos(nx)\right\},\left\{1,\sin(x),\dots ,\sin(nx)\right\},\left\{1,\cos(x),\dots ,\cos(nx)\right\},\;x\in [0,2\pi )}$ sind jeweils Haarsche Systeme.

Historie

Erstmals formulierte u​nd bewies Haar d​ie Haar condition 1918 in: Die Minkowskische Geometrie u​nd die Annäherung a​n stetige Funktionen, Mathematische Annalen, Band 78, Seite 294–311. Andere Beweise formulierten Vlastimil Pták 1958 (A remark o​n approximation o​f continuous functions i​n Czechoslovak Math. Journal, Band 8, Seite 251–256) u​nd Singer 1960 (On b​est approximation o​f continuous functions i​n Mathematische Annalen, Band 140, Seite 165–168).[1]

Literatur

• Günther Hämmerlin, Karl-Heinz Hoffmann: Numerische Mathematik. Springer, Berlin 1994, ISBN 3-540-58033-6

Einzelnachweise

1. Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory, McGraw-Hill Book Company, 1966, Library of Congress Catalog Card Number 65-25916, ISBN 007-010757-2, Seite 227 + 242 + 248 + 251