Gruppenexponent

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter dem Gruppenexponenten ${\displaystyle \exp(G)}$ einer Gruppe ${\displaystyle (G,\cdot ,e)}$ die kleinste natürliche Zahl ${\displaystyle n>0}$, für die ${\displaystyle g^{n}=e}$ (Potenz eines Gruppenelements) für alle Gruppenelemente ${\displaystyle g}$ gilt.[1] Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, ${\displaystyle G}$ habe Exponent ${\displaystyle \infty }$ (sie muss dann auch unendliche Ordnung haben).

Eigenschaften

• Nach dem Satz von Lagrange ist der Gruppenexponent für eine endliche Gruppe ein Teiler der Gruppenordnung und somit insbesondere endlich.
• In einer zyklischen Gruppe stimmt der Gruppenexponent mit der Gruppenordnung überein.
• Die Gruppenordnung stimmt genau dann mit dem Gruppenexponenten überein, wenn alle Sylowgruppen der Gruppe zyklisch sind.[2]
• Der Gruppenexponent ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Ordnung aller Gruppenelemente.
• Der Gruppenexponent einer Untergruppe ist ein Teiler des Exponenten der ganzen Gruppe.

Beispiele

• Für die primen Restklassengruppen ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ erhält man den Gruppenexponenten durch die Carmichael-Funktion.
• Der Gruppenexponent von ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }}$ mit einer Primzahl ${\displaystyle p}$ ist gleich der Gruppenordnung ${\displaystyle p-1}$.
• Der Gruppenexponent von ${\displaystyle (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }}$ ist 2 (vergleiche: Die Gruppenordnung ist 4).
• Der Körper ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ mit ${\displaystyle q=p^{k}}$ Elementen, aufgefasst als additive Gruppe, hat Gruppenordnung ${\displaystyle q}$ und Gruppenexponent ${\displaystyle p}$ (vergleiche Charakteristik eines Körpers).
• Unendliche Gruppen mit endlichem Exponenten sind bspw. der Polynomring ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[X]}$ und der algebraische Abschluss von ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$, jeweils (wegen der Primzahlcharakteristik ${\displaystyle p}$) in der additiven Verknüpfung.
• Jedes Element ${\displaystyle m/n+\mathbb {Z} }$ der (unendlichen) Torsionsgruppe ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ hat die endliche Ordnung ${\displaystyle n}$, wenn ${\displaystyle n>0}$ gilt und ${\displaystyle m}$ zu ${\displaystyle n}$ teilerfremd ist. Da die Elementordnungen aber nicht beschränkt sind, ist ${\displaystyle \exp(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )=\infty }$.

Siehe auch

• Torsion (Algebra)

Einzelnachweise

1. Wikiversity. Abgerufen am 13. August 2012.
2. matheplanet.com: Beitrag No. 7 von Gockel. Abgerufen am 13. August 2012.