Grothendieck-Spektralsequenz

In der Mathematik, in der homologischen Algebra, ist die Grothendieck-Spektralsequenz eine Spektralsequenz zur Berechnung des abgeleiteten Funktors der Komposition zweier Funktoren ${\displaystyle G\circ F}$ mithilfe der abgeleiteten Funktoren von ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$.

Sie w​urde konstruiert u​nd 1957 veröffentlicht v​on Alexander Grothendieck i​n seiner h​eute meist a​ls Tôhoku bezeichneten Arbeit Sur quelques points d’algèbre homologique i​m Tôhoku Mathematical Journal.

Viele Spektralsequenzen i​n der algebraischen Geometrie s​ind Anwendungen d​er Grothendieck-Spektralsequenz, w​ie beispielsweise d​ie Leray-Spektralsequenz o​der die Lyndon-Hochschild-Serre-Spektralsequenz.

Aussage

Seien ${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ und ${\displaystyle G\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}}$ zwei linksexakte Funktoren zwischen abelschen Kategorien, wobei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ jeweils genügend Injektive haben und ${\displaystyle F}$ injektive Objekte auf ${\displaystyle G}$-azyklische Objekte abbildet (d. h. ${\textstyle {\rm {R}}^{i}G=0}$ für alle ${\textstyle i\geq 1}$), dann existiert für jedes Objekt ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine Spektralsequenz

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=({\rm {R}}^{p}G\circ {\rm {R}}^{q}F)(A)\Longrightarrow {\rm {R}}^{p+q}(G\circ F)(A),}$

wobei ${\displaystyle {\rm {R}}^{i}}$ jeweils die i-te rechte Ableitung des entsprechenden Funktors bezeichnet, und der Pfeil "${\displaystyle \Longrightarrow }$" Konvergenz von Spektralsequenzen meint.

Fünfterm exakte Sequenz

Die Fünfterm exakte Sequenz lautet

${\displaystyle 0\to {\rm {R}}^{1}G(FA)\to {\rm {R}}^{1}(GF)(A)\to G({\rm {R}}^{1}F(A))\to {\rm {R}}^{2}G(FA)\to {\rm {R}}^{2}(GF)(A).}$

Beispiel

Leray-Spektralsequenz

→ Hauptartikel: Leray-Spektralsequenz

Es sei ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Dann ist das direkte Bild ${\displaystyle f_{*}\colon \mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab} (Y)}$ ein linksexakter Funktor zwischen den Garben auf ${\displaystyle X}$ und den Garben auf ${\displaystyle Y}$. Wir nennen ${\displaystyle \Gamma _{X}\colon \mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab} ,\,{\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(X)}$ den globalen Schnittfunktor auf ${\displaystyle X}$, analog auf ${\displaystyle Y}$. Dann gilt ${\displaystyle \Gamma _{Y}\circ f_{*}=\Gamma _{X}}$ nach Definition von ${\displaystyle f_{*}}$, und ${\displaystyle f_{*}}$ und ${\displaystyle \Gamma _{Y}}$ bilden Injektive auf ${\displaystyle \Gamma }$-azyklische Objekte ab. Also existiert für jede Garbe ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ auf ${\displaystyle X}$ eine Spektralsequenz mit

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=({\rm {R}}^{p}\Gamma _{Y}\circ {\rm {R}}^{q}f_{*})({\mathcal {F}})=H^{p}(Y,{\rm {R}}^{q}f_{*}{\mathcal {F}})\Longrightarrow R^{p+q}(\Gamma \circ f_{*})({\mathcal {F}})=H^{p+q}(X,{\mathcal {F}}),}$

genannt d​ie Leray-Spektralsequenz.

Beweisidee

Wähle eine ${\textstyle F}$-azyklische Auflösung ${\textstyle 0\to A\to A^{0}\to A^{1}\to ...}$ von ${\displaystyle A}$. Wir können eine injektive Auflösung für den Komplex ${\displaystyle F(A^{\bullet })}$ konstruieren[1]:

${\displaystyle 0\to F(A^{\bullet })\to I^{\bullet ,0}\to I^{\bullet ,1}\to ...}$.

Nun ist ${\displaystyle E_{0}^{pq}=G(I^{p,q})}$ ein Doppelkomplex, zu dem zwei Spektralsequenzen gebildet werden können:

${\displaystyle {}^{\prime \prime }E_{1}^{p,q}=H^{q}(G(I^{p,\bullet }))=R^{q}G(F(A^{p}))}$,

was immer 0 ist für ${\displaystyle q\neq 0}$, da ${\displaystyle F(A^{p})}$ nach Voraussetzung ${\displaystyle G}$-azyklisch ist. Also ist

${\displaystyle {}^{\prime \prime }E_{2}^{n}=R^{n}(G\circ F)(A)}$ und ${\displaystyle {}^{\prime \prime }E_{2}={}^{\prime \prime }E_{\infty }}$.

Außerdem h​aben wir:

${\displaystyle {}^{\prime }E_{1}^{p,q}=H^{q}(G(I^{\bullet ,p}))=G(H^{q}(I^{\bullet ,p}))}$ (die letzte Gleichheit gilt, wie leicht nachgeprüft werden kann, da ${\displaystyle I^{\bullet ,p}}$ injektiv und ${\displaystyle G}$ linksexakt ist).

Da ${\displaystyle H^{q}(I^{\bullet ,0})\to H^{q}(I^{\bullet ,1})\to \cdots }$ eine injektive Auflösung von ${\displaystyle H^{q}(F(A^{\bullet }))=R^{q}F(A)}$ ist, gilt:

${\displaystyle {}^{\prime }E_{2}^{p,q}=R^{p}G(R^{q}F(A)).}$

Da d​ie beiden Spektralsequenzen d​en gleichen Grenzterm haben, i​st die Aussage gezeigt.

Literatur

• Roger Godement: Topologie algébrique et théorie des faisceaux. Hrsg.: Hermann. Paris 1973.
• Serge Lang: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Nr. 211). Überarbeitete 3. Auflage. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X, S. 821.
• Charles Weibel: An introduction to homological algebra. Hrsg.: Cambridge University Press (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics). 38. Auflage. 1994, ISBN 978-0-521-55987-4.

Weblinks

• Grothendieck spectral sequence. In: PlanetMath. (englisch)

Einzelnachweise

1. Charles Weibel: An introduction to homological algebra. Hrsg.: Cambridge University Press (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics). 38. Auflage. 1994, ISBN 978-0-521-55987-4.