Injektive Auflösung
Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie und der homologischen Algebra ist eine injektive Auflösung eine lange exakte Sequenz aus injektiven Objekten, die mit einem gegebenen Objekt beginnt.
Definition
Formal sei eine abelsche Kategorie und ein Objekt aus . Dann heißt eine lange exakte Sequenz der Form
injektive Auflösung von , wenn sämtliche injektiv sind.[1]
Existenz
Ist in der abelschen Kategorie jedes Objekt Unterobjekt eines injektiven Objektes, d. h. gibt es zu jedem Objekt einen Monomorphismus , wobei injektiv ist, so sagt man auch, besitze genügend viele injektive Objekte. Ein wichtiges Beispiel solcher Kategorien ist die Kategorie der Links-Moduln über einem Ring.
Unter diesen Bedingungen gibt es auch zu jedem Objekt eine injektive Auflösung. Zunächst existiert nämlich nach Voraussetzung ein Monomorphismus , dann weiter ein Monomorphismus und dann per Induktion jeweils weiter .
Eigenschaften
Ist
eine injektive Auflösung und
eine exakte Sequenz, so lässt sich jeder -Homomorphismus (nicht notwendigerweise eindeutig) zu einem kommutativen Diagramm
ergänzen. Eine wichtige Folgerung aus dieser Eigenschaft ist, dass je zwei injektive Auflösungen eines Objektes vom selben Homotopietyp sind.[2]
Siehe auch
- Der duale Begriff ist der der projektiven Auflösung.
- Eine Anwendung finden injektive Auflösungen in der Berechnung abgeleiteter Funktoren.
Einzelnachweise
- P. J. Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (1971), ISBN 0821816578, Definition 2.6
- Peter Hilton, Urs Stammbach: A course in homological algebra, 1. Auflage 1970, ISBN 3-540-90032-2, Kapitel IV, Theorem 4.4 und Satz 4.5