Gramsche Determinante

Man k​ann in d​er Matrizenrechnung n​ur Determinanten v​on quadratischen Matrizen a​ls Maß für d​ie Volumenänderung i​hrer Abbildung definieren. Für nichtquadratische Matrizen g​ibt es Minoren u​nd Gramsche Determinanten (nach Jørgen Pedersen Gram), d​ie Ähnliches leisten.

Definition

Für alle Matrizen ${\displaystyle A\in K^{m\times n}}$ mit ${\displaystyle m\geq n}$ nennt man ${\displaystyle \operatorname {Gram} (A)=\det(A^{T}A)}$ die Gramsche Determinante. Es gilt: ${\displaystyle \operatorname {Gram} (A)}$ ist für ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ nie negativ und genau dann ${\displaystyle 0}$, wenn ${\displaystyle \operatorname {rang} A<n}$, also wenn die Spalten von ${\displaystyle A}$ linear abhängig sind. Man kann die Gramsche Determinante auch nach dem Satz von Binet-Cauchy als Summe über das Quadrat aller maximalen Minoren schreiben.

Gramsche Matrix

Für ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ sind die Einträge der Matrix ${\displaystyle A^{T}A}$ die kanonischen Skalarprodukte der Spalten von ${\displaystyle A}$. Hierzu betrachtet man die folgende Verallgemeinerung:

Sei auf einem ${\displaystyle n}$-dimensionalen K-Vektorraum ${\displaystyle V}$ mit der Basis ${\displaystyle (v_{1},..,v_{n})}$ eine Bilinearform ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon V\times V\to K,\quad (v,w)\mapsto \langle v,w\rangle }$ definiert. Dann nennt man die Matrix

${\displaystyle M:={\begin{pmatrix}\langle v_{1},v_{1}\rangle &\cdots &\langle v_{1},v_{n}\rangle \\\vdots &&\vdots \\\langle v_{n},v_{1}\rangle &\cdots &\langle v_{n},v_{n}\rangle \end{pmatrix}}}$

die zur Bilinearform ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ gehörige Gramsche Matrix, bzw. darstellende Matrix der Bilinearform. Letzte wird durch die Einträge der Gram-Matrix vollständig festgelegt. Die Bilinearform ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ist genau dann ein Skalarprodukt, wenn ${\displaystyle M}$ symmetrisch und positiv definit ist.

Ist ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ein Skalarprodukt, ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ eine beliebige Menge von Vektoren aus ${\displaystyle V}$, so bezeichnet man ${\displaystyle M}$ als die Gram-Matrix von ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$. Eine wichtige Anwendung in diesem Fall ist das Kriterium der linearen Unabhängigkeit: Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn ihre Gramsche Determinante (Determinante der Gram-Matrix) nicht Null ist. Da die Gramsche Determinante in diesem Falle nichtnegativ ist, kann man aus ihr die Wurzel ziehen und durch

${\displaystyle \operatorname {Vol} (v_{1},\dotsc ,v_{n}):={\sqrt {\det(M)}}}$

das ${\displaystyle n}$-dimensionale Volumen des durch ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ aufgespannten Spates erklären.

Siehe auch

• Spatprodukt#Doppeltes Spatprodukt

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 13. Auflage. Vieweg, 2002, ISBN 3-528-97217-3.
• Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. 6. Auflage. Vieweg, 2009, ISBN 978-3-528-56508-4.