Getrennte Mengen

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind getrennte Mengen Paare von Teilmengen eines gegebenen topologischen Raumes, die auf eine Art miteinander in Beziehung stehen. Ob zwei Mengen getrennt sind oder nicht, ist sowohl für den Begriff von zusammenhängenden Mengen als auch für die Trennungsaxiome für topologische Räume von Bedeutung.

Definitionen

Es existieren verschiedene Versionen dieses Konzeptes. Die Begriffe s​ind nachfolgend definiert. Dabei s​ei X e​in topologischer Raum.

Zwei Teilmengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ von ${\displaystyle X}$ heißen disjunkt, falls deren Durchschnitt leer ist. Diese Eigenschaft hat nichts mit der Topologie zu tun, sondern ist ein Begriff der Mengenlehre. Wir erwähnen diese Eigenschaft hier, da sie die schwächste der hier betrachteten Trennungseigenschaften ist. Siehe dazu auch den Artikel zu disjunkten Mengen.

${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ heißen getrennt in ${\displaystyle X}$, falls beide Mengen disjunkt zum Abschluss der anderen Menge sind. Es wird aber nicht gefordert, dass die beiden Abschlüsse disjunkt sein sollen. So sind zum Beispiel die Intervalle ${\displaystyle \left[0,1\right)}$ und ${\displaystyle \left(1,2\right]}$ getrennt in ${\displaystyle \mathbb {R} }$, obwohl ${\displaystyle 1}$ zum Abschluss beider Mengen gehört. Weiter sind getrennte Mengen immer disjunkt.

${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ sind durch Umgebungen getrennt, falls disjunkte Umgebungen ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle V}$ von ${\displaystyle B}$ existieren. In gewissen Büchern werden offene Umgebungen ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle V}$ gefordert. Diese Definition ist aber zur Vorangehenden äquivalent. Zum Beispiel sind ${\displaystyle A=\left[0,1\right)}$ und ${\displaystyle B=\left(1,2\right]}$ durch Umgebungen getrennt, denn die ${\displaystyle U=(-1,1)}$ und ${\displaystyle V=(1,3)}$ sind disjunkte Umgebungen von ${\displaystyle A}$ bzw. ${\displaystyle B}$. Offensichtlich sind Mengen, die durch Umgebungen getrennt sind, auch getrennt.

${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ sind durch abgeschlossene Umgebungen getrennt, falls disjunkte abgeschlossene Umgebungen ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle V}$ von ${\displaystyle B}$ existieren. Die Mengen ${\displaystyle \left[0,1\right)}$ und ${\displaystyle \left(1,2\right]}$ sind nicht durch abgeschlossene Umgebungen getrennt. Durch Hinzufügen von ${\displaystyle 1}$ erhalten wir zwar für beide Mengen abgeschlossene Obermengen, da aber ${\displaystyle 1}$ im Abschluss beider Mengen liegt, existieren keine disjunkten abgeschlossenen Umgebungen. Weiter sind durch abgeschlossene Umgebungen getrennte Mengen auch durch Umgebungen getrennt.

${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ heißen durch Funktionen getrennt, falls eine stetige Funktion ${\displaystyle f}$ von ${\displaystyle X}$ in die reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ existiert, so dass ${\displaystyle f(A)=\left\{0\right\}}$ und ${\displaystyle f(B)=\left\{1\right\}}$. In der Literatur wird manchmal zusätzlich gefordert, dass ${\displaystyle f}$ die Werte im Intervall ${\displaystyle \left[0,1\right]}$ annimmt. Diese Definition ist aber zu obiger äquivalent. Die beiden Mengen ${\displaystyle \left[0,1\right)}$ und ${\displaystyle \left(1,2\right]}$ sind nicht durch Funktionen getrennt, denn es ist nicht möglich, die Funktion am Punkt ${\displaystyle 1}$ stetig zu wählen. Mengen, die durch Funktionen getrennt sind, sind auch durch abgeschlossene Umgebungen getrennt; als abgeschlossene Umgebungen können die Urbilder ${\displaystyle U:=f^{-1}(\left[-\epsilon ,\epsilon \right])}$ und ${\displaystyle V:=f^{-1}(\left[1-\epsilon ,1+\epsilon \right])}$ für ein ${\displaystyle 0<\epsilon <{\frac {1}{2}}}$ gewählt werden. Welche Räume dies erfüllen, wird im Lemma von Urysohn deutlich.

${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ sind scharf durch eine Funktion getrennt, falls eine stetige Funktion ${\displaystyle f}$ von ${\displaystyle X}$ in die reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ existiert, so dass ${\displaystyle f^{-1}(0)=A}$ und ${\displaystyle f^{-1}(1)=B}$. Auch hier kann zusätzlich gefordert werden, dass ${\displaystyle f}$ sein Bild in ${\displaystyle \left[0,1\right]}$ hat. Scharf durch Funktionen getrennte Mengen sind auch durch Funktionen getrennt. Da ${\displaystyle \left\{0\right\}}$ und ${\displaystyle \left\{1\right\}}$ abgeschlossene Teilmengen von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sind, können nur abgeschlossene Mengen scharf durch Funktionen getrennt sein. Doch aus der Tatsache, dass abgeschlossene Mengen durch Funktionen getrennt sind, kann nicht gefolgert werden, dass sie scharf durch Funktionen getrennt sind.

Beziehung zu den Trennungsaxiomen und separierten Räumen

Die Trennungsaxiome s​ind Bedingungen, d​ie an topologische Räume gestellt werden u​nd mit Hilfe d​er verschiedenen Typen v​on getrennten Mengen ausgedrückt werden können. So s​ind die separierten topologischen Räume g​enau diejenigen, welche d​as Trennungsaxiom T₂ erfüllen. Genauer i​st ein topologischer Raum g​enau dann separiert, w​enn für z​wei verschiedene Punkte x u​nd y d​ie einelementigen Mengen {x} u​nd {y} d​urch Umgebungen getrennt sind. Solche Räume heißen a​uch Hausdorff-Räume o​der T₂ -Räume.

Beziehung zu zusammenhängenden Räumen

Manchmal ist es nützlich, für eine Teilmenge A eines topologischen Raumes zu wissen, ob sie vom eigenen Komplement getrennt ist. Dies ist sicher richtig, falls A die leere Menge oder der ganze Raum X ist. Aber dies sind nicht die einzigen Beispiele. Ein topologischer Raum heißt zusammenhängend, falls die leere Menge und der ganze Raum X die einzigen Mengen sind, welche diese Eigenschaft erfüllen. Falls eine nichtleere Teilmenge A von ihrem Komplement getrennt ist und falls die einzige echte Teilmenge von A, welche diese Eigenschaft hat, die leere Menge ist, dann ist A eine offen-zusammenhängende Komponente von X.

Beziehung zu topologisch unterscheidbaren Punkten

In e​inem topologischen Raum X heißen z​wei Punkte x u​nd y topologisch unterscheidbar, f​alls eine offene Menge existiert, s​o dass g​enau einer d​er beiden Punkte z​u ihr gehört. Für topologisch unterscheidbare Punkte s​ind die einelementigen Mengen {x} u​nd {y} disjunkt. Sind andererseits d​ie Mengen {x} u​nd {y} getrennt, s​o sind d​ie Punkte x u​nd y topologisch unterscheidbar.