Gauduchon-Metrik

In d​er Mathematik s​ind Gauduchon-Metriken e​in Konzept d​er komplexen Geometrie, welches d​as Konzept d​er Calabi-Yau-Metriken v​on Kähler-Mannigfaltigkeiten a​uf hermitesche Mannigfaltigkeiten verallgemeinert.

Definition

Ist ${\displaystyle M}$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle n=\dim _{\mathbb {C} }M}$, so heißt eine hermitesche Metrik ${\displaystyle h}$ auf ${\displaystyle M}$ Gauduchon-Metrik, wenn

${\displaystyle \partial {\overline {\partial }}(h^{n-1})=0}$

gilt.

Gauduchon-Vermutung

Die 2015 von Gábor Székelyhidi, Valentino Tosatti und Ben Weinkove bewiesene Gauduchon-Vermutung besagt, dass es auf einer kompakten, komplexen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ zu jeder die erste Chern-Klasse ${\displaystyle c_{1}(M)}$ repräsentierenden ${\displaystyle (1,1)}$-Form ${\displaystyle \Psi }$ eine Gauduchon-Metrik gibt, deren Ricci-Form ${\displaystyle \Psi }$ ist. Äquivalent: Zu jeder Volumenform ${\displaystyle \sigma }$ auf ${\displaystyle M}$ gibt es eine Gauduchon-Metrik ${\displaystyle \omega }$ mit ${\displaystyle \omega ^{n}=\sigma }$.

Hintergrund

Für Kähler-Metriken entspricht die Gauduchon-Vermutung der von Yau bewiesenen Calabi-Vermutung. Das entsprechende Problem für hermitesche Metriken ohne zusätzliche Bedingungen ließe sich leicht durch eine konform äquivalente Metrik lösen. Für ${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }(M)>1}$ ist jede hermitesche Metrik konform äquivalent zu einer bis auf Skalierung eindeutigen Gauduchon-Metrik, was die Gauduchon-Vermutung motivierte.

Literatur

• Gauduchon: La 1-forme de torsion d'une variété hermitienne compacte, Mathematische Annalen 267, 495–518 (1994).
• Székelyhidi, Tosatti, Weinkove: Gauduchon metrics with prescribed volume form, Acta Mathematica 219, 181–211 (2017).