GHMC-Mannigfaltigkeit

GHMC-Mannigfaltigkeiten (global hyperbolische maximal Cauchy-kompakte Mannigfaltigkeiten) s​ind ein geometrisches Konzept, d​as als einfaches Modell für (2+1)-dimensionale Gravitation verwendet wird.[1]

Definition

Eine Lorentz-Mannigfaltigkeit heißt global hyperbolisch, w​enn „ein Vorwärtsreisen i​n der Zeit n​ie in d​ie Vergangenheit führt“, d. h. w​enn es e​ine raumartige Hyperfläche (Cauchy-Fläche) gibt, d​ie jede maximale kausale Kurve g​enau einmal trifft.

Eine d-dimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ heißt global hyperbolische maximal Cauchy-kompakte Mannigfaltigkeit, wenn sie global hyperbolisch ist, die Cauchy-Fläche kompakt ist und ${\displaystyle M}$ mit diesen Eigenschaften maximal ist, d. h. ${\displaystyle M}$ nicht isometrisch in eine größere global hyperbolische d-dimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeit eingebettet werden kann.

Satz von Mess

Der Satz von Mess (nach Geoffrey Mess 1990)[2] beschreibt die 3-dimensionalen GHMC-Mannigfaltigkeiten, die diffeomorph zu ${\displaystyle S\times \left(0,1\right)}$ für eine Fläche ${\displaystyle S}$ sind.

Seine Beschreibung verwendet die Identifikation des 3-dimensionalen Anti-de-Sitter-Raumes ${\displaystyle AdS^{3}}$ mit ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {R} )}$ und seiner Isometriegruppe ${\displaystyle PO_{0}(2,2)}$ mit ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )\times SL(2,\mathbb {R} )}$, unter der die Wirkung von ${\displaystyle PO_{0}(2,2)}$ auf ${\displaystyle AdS^{3}}$ der Wirkung von ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )\times SL(2,\mathbb {R} )}$ auf ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {R} )}$ durch Links- und Rechtsmultiplikation entspricht.

Mit dieser Identifikation erhält man jede GHMC-Struktur auf ${\displaystyle S\times \left(0,1\right)}$ wie folgt. Sei ${\displaystyle (\rho _{L},\rho _{R})(\pi _{1}S)}$ ein Paar Fuchsscher Gruppen. Die Wirkung von ${\displaystyle (\rho _{L},\rho _{R})(\pi _{1}S)}$ auf ${\displaystyle \partial _{\infty }AdS^{3}}$ lässt einen Kreis ${\displaystyle \Lambda }$ invariant, nämlich den Graphen eines die Wirkung von ${\displaystyle \rho _{L}}$ in die Wirkung von ${\displaystyle \rho _{R}}$ konjugierenden Homöomorphismus ${\displaystyle \mathbb {R} P^{1}\to \mathbb {R} P^{1}}$. Sei ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} P^{3}}$ das Komplement der Vereinigung aller ${\displaystyle z^{\perp }}$ (bzgl. der Lorentz-Metrik) für ${\displaystyle z\in \Lambda }$. Dann ist

${\displaystyle (\rho _{L},\rho _{R})(\pi _{1}S)\backslash \Omega }$

eine GHMC-Mannigfaltigkeit diffeomorph zu ${\displaystyle S\times \left(0,1\right)}$ und der Satz von Mess besagt, dass jede GHMC-Struktur auf ${\displaystyle S\times \left(0,1\right)}$ auf diese Weise entsteht.[3] Die Holonomiegruppen dieser GHMC-Strukturen werden auch als AdS-quasifuchssche Gruppen bezeichnet.

Literatur

• Thierry Barbot: Lorentzian Kleinian Groups. In: L. Ji, A. Papadopoulos, S.-T. Yau (Hrsg.): Handbook of group actions, Band 1. International Press and Higher Education Press, 2015, arxiv:1609.03863
• Lars Andersson, Thierry Barbot, Riccardo Benedetti, Francesco Bonsante, William M. Goldman, François Labourie, Kevin Scannell, Jean-Marc Schlenker: Notes on a Paper of Mess. In: Geometriae Dedicata, Band 126, 2007, S. 47–70, arxiv:0706.0640

Einzelnachweise

1. Edward Witten: 2+1 dimensional gravity as an exactly soluble system. In: Nuclear Physics, B311, 46-78 (1988). fis.puc.cl
2. Geoffrey Mess: Lorentz spacetimes of constant curvature. MSRI Preprint 1990. In: Geometriae Dedicata, Band 126, 2007, S. 3–45, arxiv:0706.1570
3. Fanny Kassel: Geometric structures and representations of discrete groups. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Rio de Janeiro 2018. arxiv:1802.07221