GHMC-Mannigfaltigkeit
GHMC-Mannigfaltigkeiten (global hyperbolische maximal Cauchy-kompakte Mannigfaltigkeiten) sind ein geometrisches Konzept, das als einfaches Modell für (2+1)-dimensionale Gravitation verwendet wird.[1]
Definition
Eine Lorentz-Mannigfaltigkeit heißt global hyperbolisch, wenn „ein Vorwärtsreisen in der Zeit nie in die Vergangenheit führt“, d. h. wenn es eine raumartige Hyperfläche (Cauchy-Fläche) gibt, die jede maximale kausale Kurve genau einmal trifft.
Eine d-dimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeit heißt global hyperbolische maximal Cauchy-kompakte Mannigfaltigkeit, wenn sie global hyperbolisch ist, die Cauchy-Fläche kompakt ist und mit diesen Eigenschaften maximal ist, d. h. nicht isometrisch in eine größere global hyperbolische d-dimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeit eingebettet werden kann.
Satz von Mess
Der Satz von Mess (nach Geoffrey Mess 1990)[2] beschreibt die 3-dimensionalen GHMC-Mannigfaltigkeiten, die diffeomorph zu für eine Fläche sind.
Seine Beschreibung verwendet die Identifikation des 3-dimensionalen Anti-de-Sitter-Raumes mit und seiner Isometriegruppe mit , unter der die Wirkung von auf der Wirkung von auf durch Links- und Rechtsmultiplikation entspricht.
Mit dieser Identifikation erhält man jede GHMC-Struktur auf wie folgt. Sei ein Paar Fuchsscher Gruppen. Die Wirkung von auf lässt einen Kreis invariant, nämlich den Graphen eines die Wirkung von in die Wirkung von konjugierenden Homöomorphismus . Sei das Komplement der Vereinigung aller (bzgl. der Lorentz-Metrik) für . Dann ist
eine GHMC-Mannigfaltigkeit diffeomorph zu und der Satz von Mess besagt, dass jede GHMC-Struktur auf auf diese Weise entsteht.[3] Die Holonomiegruppen dieser GHMC-Strukturen werden auch als AdS-quasifuchssche Gruppen bezeichnet.
Literatur
- Thierry Barbot: Lorentzian Kleinian Groups. In: L. Ji, A. Papadopoulos, S.-T. Yau (Hrsg.): Handbook of group actions, Band 1. International Press and Higher Education Press, 2015, arxiv:1609.03863
- Lars Andersson, Thierry Barbot, Riccardo Benedetti, Francesco Bonsante, William M. Goldman, François Labourie, Kevin Scannell, Jean-Marc Schlenker: Notes on a Paper of Mess. In: Geometriae Dedicata, Band 126, 2007, S. 47–70, arxiv:0706.0640
Einzelnachweise
- Edward Witten: 2+1 dimensional gravity as an exactly soluble system. In: Nuclear Physics, B311, 46-78 (1988). fis.puc.cl
- Geoffrey Mess: Lorentz spacetimes of constant curvature. MSRI Preprint 1990. In: Geometriae Dedicata, Band 126, 2007, S. 3–45, arxiv:0706.1570
- Fanny Kassel: Geometric structures and representations of discrete groups. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Rio de Janeiro 2018. arxiv:1802.07221