Fuhrmann-Kreis

Der Fuhrmann-Kreis, benannt nach Wilhelm Fuhrmann (1833–1904), ist ein spezieller Kreis am Dreieck. Für ein gegebenes Dreieck mit Nagel-Punkt ${\displaystyle N}$ und Höhenschnittpunkt ${\displaystyle H}$ kann man den Fuhrmann-Kreis als denjenigen Kreis definieren, der die Strecke ${\displaystyle NH}$ als Durchmesser besitzt. Der so definierte Kreis ist identisch mit dem Umkreis des zum gegebenen Dreieck gehörenden Fuhrmann-Dreiecks.

Fuhrmann-Kreis mit Fuhrmann-Dreieck (rot),
Nagel-Punkt ${\displaystyle N}$ und Höhenschnittpunkt ${\displaystyle H}$
${\displaystyle |AP_{a}|=BP_{b}|=|CP_{c}|=2r}$

Der Radius des Fuhrmann-Kreises ${\displaystyle R_{F}}$ entspricht dem Abstand der Mittelpunkte von Inkreis und Umkreis des gegebenen Dreiecks. Mit dem Satz von Euler ergibt sich hiermit:

${\displaystyle R_{F}={\sqrt {R(R-2r)}}}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle R}$ den Radius des Umkreises und ${\displaystyle r}$ den Radius des Inkreises.

Der Fuhrmann-Kreis schneidet die Höhen des Dreiecks neben dem gemeinsamen Höhenschnittpunkt ${\displaystyle H}$ jeweils in einem weiteren Punkt. Jeder dieser Punkte besitzt den Abstand ${\displaystyle 2r}$ vom zugehörigen Eckpunkt (siehe Zeichnung). Da der Fuhrmann-Kreis mit diesen drei Punkten zusammen mit dem Nagel-Punkt, dem Höhenschnittpunkt und den Eckpunkten des Fuhrmann-Dreiecks insgesamt acht besondere Punkte besitzt, wird er manchmal auch als Acht-Punkte-Kreis bezeichnet.

Literatur

• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 228–229, 300 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).
• Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, S. 49-52
• J. A. Scott: An Eight-Point Circle. In: The Mathematical Gazette, Band 86, Nr. 506 (Jul., 2002), S. 326–328 (JSTOR)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Fuhrmann circle. In: MathWorld (englisch).
• Fuhrmann circle