Fuhrmann-Dreieck

Das Fuhrmann-Dreieck, benannt n​ach Wilhelm Fuhrmann (1833–1904), i​st ein spezielles Dreieck, d​as über e​in gegebenes Ausgangsdreieck definiert ist.

Fuhrmann-Dreieck (rot): ${\displaystyle \triangle M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }}$
Kreisbogenmittelpunkte: ${\displaystyle M_{a},M_{b},M_{c}}$

Fuhrmann-Dreieck (rot): ${\displaystyle \triangle M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }}$
${\displaystyle \triangle M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }\sim \triangle M_{a}M_{b}M_{c}}$

Zu einem gegebenen Ausgangsdreieck ${\displaystyle \triangle ABC}$ sind ${\displaystyle M_{a},M_{b},M_{c}}$ die Mittelpunkte der Kreisbögen des Umkreises über den Dreiecksseiten ${\displaystyle a,b,c}$. Diese Mittelpunkte werden an den zugehörigen Dreiecksseiten gespiegelt und die Spiegelpunkte ${\displaystyle M_{a}^{\prime },M_{b}^{\prime },M_{c}^{\prime }}$ sind die Eckpunkte des Fuhrmann-Dreiecks. Ist das gegebene Dreieck gleichseitig, so fallen diese drei Punkte zusammen.

Der Umkreis des Fuhrmann-Dreiecks wird auch als Fuhrmann-Kreis bezeichnet. Des Weiteren ist das Fuhrmann-Dreieck ähnlich zu dem von den Mittelpunkten der Kreisbögen gebildeten Dreieck, also ${\displaystyle \triangle M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }\sim \triangle M_{a}M_{b}M_{c}}$ und für seine Fläche gilt:

${\displaystyle |\triangle M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }|={\frac {(a+b+c)|OI|^{2}}{4R}}={\frac {(a+b+c)(R-2r)}{4}}}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle O}$ den Mittelpunkt des Umkreises des Ausgangsdreiecks ${\displaystyle \triangle ABC}$ und ${\displaystyle R}$ seinen Radius, sowie ${\displaystyle I}$ den Mittelpunkt des Inkreises und ${\displaystyle r}$ dessen Radius. Aufgrund des Satzes von Euler gilt zudem für den Abstand der beiden Mittelpunkte ${\displaystyle |OI|^{2}=R(R-2r)}$. Für die Seitenlängen des Fuhrmann-Dreiecks existieren die folgenden Gleichungen:

${\displaystyle a^{\prime }={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a+b+c)}{bc}}}|OI|}$

${\displaystyle b^{\prime }={\sqrt {\frac {(a-b+c)(a+b+c)}{ac}}}|OI|}$

${\displaystyle c^{\prime }={\sqrt {\frac {(a+b-c)(a+b+c)}{ab}}}|OI|}$

Literatur

• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 228–229, 300 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).
• Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, S. 49-52

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Fuhrmann triangle. In: MathWorld (englisch).