Freiraumdämpfung

Die Freiraumdämpfung beschreibt, wie stark ein Funksignal in Abhängigkeit von Sendefrequenz und Abstand zwischen Sender und Empfänger gedämpft wird. Sie fasst zwei Terme der Leistungsübertragungsbilanz einer Funkverbindung zusammen: die Reduzierung der Leistungsdichte gemäß dem quadratischen Abstandsgesetz und die mit der Frequenz schrumpfende Wirkfläche einer Empfangsantenne ohne Antennengewinn.[1][2] Sie ist das einfachste Modell für Pfadverluste, berücksichtigt nicht etwaige Dämpfung durch das Ausbreitungsmedium.

Freiraumdämpfung (FSPL, free-space path loss) in dB als Funktion der Entfernung für verschiedene Frequenzen

Der Freiraumdämpfungsfaktor w​ird in d​er Funktechnik üblicherweise logarithmisch a​ls Freiraumdämpfungsmaß i​n dB ausgedrückt.

Berechnung

Leistungsdichte auf einer Kugeloberfläche

Da der Antennengewinn von Sende- und Empfangsantenne in der Leistungsbilanz gesondert auftaucht und sich auf den (theoretischen) Isotropstrahler bezieht, wird hier dessen Richtcharakteristik angesetzt. Für den Sender bedeutet das, dass sich seine hochfrequente Leistung ${\displaystyle P}$ gleichmäßig in alle Richtungen verteilt. Demzufolge bilden Flächen gleicher Leistungsdichte ${\displaystyle S}$ Kugeln um den Strahler. Bei größer werdendem Kugelradius ${\displaystyle r}$ verteilt sich die Leistung auf eine größere Fläche (Kugel) ${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$ um den Strahler herum, die Leistungsdichte sinkt quadratisch:

(1) ${\displaystyle S={\frac {P}{A}}={\frac {P}{4\pi r^{2}}}}$

Der a​m Empfangsort näherungsweise ebenen Welle entnimmt d​ie Empfangsantenne d​ie Leistung

(2) ${\displaystyle P_{\mathrm {r} }=SA_{\mathrm {W} }}$

Darin ist für die Wirkfläche ${\displaystyle A_{\mathrm {W} }}$ die der isotropen Antenne einzusetzen. Sie hängt nur von der Wellenlänge ${\displaystyle \lambda }$ ab:[3]

(3) ${\displaystyle A_{\mathrm {W} }={\frac {\lambda ^{2}}{4\pi }}}$

Setzt m​an (1) u​nd (3) in (2) ein, s​o folgt:

${\displaystyle P_{\mathrm {r} }={\frac {P}{4\pi r^{2}}}{\frac {\lambda ^{2}}{4\pi }}=\left({\frac {\lambda }{4\pi r}}\right)^{2}P}$

Das Verhältnis

${\displaystyle F={\frac {P}{P_{\mathrm {r} }}}=\left({\frac {4\pi r}{\lambda }}\right)^{2}}$

der beiden Leistungen wird als Freiraumdämpfung bezeichnet und auch als Funktion der Frequenz ${\displaystyle f={\frac {c}{\lambda }}}$ angegeben:[4]

${\displaystyle F=\left({\frac {4\pi rf}{c}}\right)^{2}}$

mit der Lichtgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$.

Die Frequenzabhängigkeit der Freiraumdämpfung resultiert daraus, dass eine Leistung abgestrahlt, am Empfangsort aber eine Leistungsdichte betrachtet wird. Deswegen muss eine Flächeneinheit in die Gleichung eingehen, deren Dimension als Vielfaches der Wellenlänge angegeben werden kann (eine Folge aus Gleichung 3). Die Wellenlänge kann wiederum durch die Frequenz ausgedrückt werden, wodurch die Frequenzabhängigkeit entsteht. Die Freiraumdämpfung selbst ist dimensionslos, da die Flächeneinheit ins Verhältnis zur Kugeloberfläche gesetzt wird. Bei höherer Frequenz wird also die betrachtete Flächeneinheit ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ kleiner, und das Verhältnis zur Kugeloberfläche ${\displaystyle 4\pi r^{2}}$ verschlechtert sich.

Die Ergänzung dieser Gleichung u​m den Antennengewinn u​nd die Sendeleistung z​ur Bildung e​iner Leistungsübertragungsbilanz w​ird als Friis-Übertragungsgleichung bezeichnet.

Freiraumdämpfungsmaß

Das Freiraumdämpfungsmaß k​ann unmittelbar a​us obiger Gleichung abgeleitet werden. Bei d​er Logarithmierung werden Exponenten z​u Faktoren u​nd Faktoren z​u Summanden:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}F{\text{ in dB}}&=10\log _{10}(F)\\&=10\log _{10}\left({\frac {4\pi rf}{c}}\right)^{2}&&=10\log _{10}\left({\frac {4\pi r}{\lambda }}\right)^{2}\\&=20\log _{10}\left(r\cdot f\cdot {\frac {4\pi }{c}}\right)&&=20\log _{10}\left(r\cdot \lambda ^{-1}\cdot 4\pi \right)\\&=20\log _{10}(r/\mathrm {m} )+20\log _{10}(f/\mathrm {Hz} )+20\log _{10}\left({\frac {4\pi }{c}}\mathrm {\frac {m}{s}} \right)&&=20\log _{10}(r/\mathrm {m} )-20\log _{10}(\lambda /\mathrm {m} )+20\log _{10}\left(4\pi \right)\\&=20\log _{10}(r/\mathrm {m} )+20\log _{10}(f/\mathrm {Hz} )-147{,}55&&=20\log _{10}(r/\mathrm {m} )-20\log _{10}(\lambda /\mathrm {m} )+21{,}984\end{alignedat}}}$

Beispiele

Mit dem Transceiver eines Kfz-Schlüssel mit ${\displaystyle f=2{,}4\,\mathrm {GHz} }$ (entsprechend der Wellenlänge ${\displaystyle \lambda =125\,\mathrm {mm} }$) und einer Leistung von etwa 4 mW (entsprechend 6 dBm) soll eine Entfernung von 5 m erreicht werden. Das Freiraumdämpfungsmaß beträgt ca. 54 dB. Antennengewinne sollen wegen der beiderseits angestrebten Rundstrahlcharakteristik nicht angesetzt werden. Damit beträgt der Empfangspegel −48 dBm entsprechend 13 nW.

Frequenz f	Abstand r	Freiraumdämpfung
		Faktor F	Maß in dB
0027 MHz	300 m (RC-Modell)	1,1·10^5	051 dB
0100 MHz	100 km (UKW-Rundfunk)	1,6·10^12	122 dB
0013 GHz	30 km (Richtfunk)	,13·10^14	144 dB
1575 MHz	25.000 km (GPS L1)	,13·10^18	184 dB
0015 GHz	38.000 km (Rundfunksatellit)	,16·10^20	208 dB
0002,1 GHz	384.000 km (Mond–Erde, Apollo-Programm)	1,1·10^21	211 dB
0005 GHz	405.000.000 km (Erde–Raumsonde Rosetta)	1,1·10^28	280 dB

Literatur

• Jürgen Detlefsen, Uwe Siart: Grundlagen der Hochfrequenztechnik. 2. Auflage. Oldenbourg Verlag, München / Wien 2006, ISBN 3-486-57866-9
• Hans Lobensommer: Handbuch der modernen Funktechnik. 1. Auflage. Franzis Verlag, Poing 1995, ISBN 3-7723-4262-0

Einzelnachweise

1. Manfred Thumm, Werner Wiesbeck, Stefan Kern: Hochfrequenzmesstechnik. Verfahren und Messsysteme Springer DE, 1998, ISBN 3-519-16360-8, S. 245.
2. Bernhard Walke: Mobilfunknetze und ihre Protokolle 1 Springer DE, 2001, ISBN 3-519-26430-7 eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.
3. Jerry C. Whitaker: The Electronics Handbook, Second Edition CRC Press, 2012, ISBN 0-8493-1889-0, S. 1517f eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.
4. Ulrich Freyer: Medientechnik. Basiswissen Nachrichtentechnik, Begriffe, Funktionen, Anwendungen 2013, ISBN 978-3-446-42915-4 eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.