Filtrierung (Mathematik)

Die Filtrierung, a​uch Filtration o​der Filterung genannt,[1] i​st ein Begriff a​us der Mathematik, d​er vor a​llem in d​er Wahrscheinlichkeitstheorie u​nd in d​er algebraischen Topologie verwendet wird. Es handelt s​ich um e​ine bestimmte Eigenschaft e​iner Familie v​on Mengen.

Definition

Eine (aufsteigende) Filtrierung ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ einer Menge ${\displaystyle S}$ (oft zusammen mit einer weiteren Struktur wie einer Topologie, einer algebraischen Struktur oder der Eigenschaft der Messbarkeit) ist eine Familie ${\displaystyle (S_{i})_{i\in I}}$ von Subobjekten und eine total geordnete Indexmenge ${\displaystyle I}$, sodass gilt:

falls ${\displaystyle i\leq j}$ in ${\displaystyle I}$, dann ist ${\displaystyle S_{i}\subset S_{j}}$.

Analog verwendet man auch den Begriff der absteigenden Filtrierung, das heißt ${\displaystyle S_{i}\supset S_{j}}$ für ${\displaystyle i\leq j}$.

Manchmal werden zusätzlich n​och andere Eigenschaften gefordert, w​ie beispielsweise b​ei der Filtrierung e​iner Algebra, s​iehe Filtrierung u​nd Algebra.[2][1][3]

Filtrierungen in verschiedenen Strukturen

Gruppen

Eine absteigende Filtrierung einer Gruppe ${\displaystyle G}$ besteht aus Untergruppen ${\textstyle F^{i}G}$ für alle ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$, sodass ${\textstyle F^{i+1}G\subset F^{i}G}$ für alle ${\displaystyle i}$.

Die Filtrierung heißt erschöpfend, falls ${\textstyle G=\cup _{i\in \mathbb {Z} }F^{i}G}$, sie heißt Hausdorff oder separat, wenn ${\textstyle \cap _{i\in \mathbb {Z} }F^{i}G=0}$. Sie ist nach oben beschränkt, wenn es ein ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$ gibt mit ${\textstyle F^{i}G=G}$ bzw. nach unten beschränkt, falls ${\textstyle F^{i}G=0}$ für ein ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$.[2]

Algebra

Eine aufsteigende Filtrierung einer Algebra ${\displaystyle A}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ ist eine Sequenz[4] ${\displaystyle \{0\}\subset F_{0}\subset F_{1}\subset \cdots \subset F_{i}\subset \cdots \subset A}$ von Untermoduln von ${\displaystyle A}$, sodass

${\displaystyle A=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }F_{i}}$,

und d​ie zudem m​it der Multiplikation kompatibel ist:

${\displaystyle \forall m,n\in \mathbb {N}$ :\qquad F_{m}\cdot F_{n}\subset F_{n+m}} .

Beispiel

1. Für einen Körper ${\displaystyle K}$ ist der Polynomring ${\displaystyle K[X_{1},...,X_{n}]}$ in n Variablen natürlich filtriert mit ${\displaystyle F_{i}=K\{X_{1}^{k_{1}}\cdots X_{n}^{k_{n}}|k_{1}+\cdots +k_{n}=i\}}$.
2. Jede graduierte Algebra ist filtriert. Sei ${\displaystyle K}$ ein Körper, ${\displaystyle {\mathcal {A}}=K\{x,y\}/\sim }$, wobei "${\displaystyle \sim }$" definiert ist durch die Kommutatorrelation ${\displaystyle [x,y]=1}$, d. h. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ist nicht kommutativ. Dann ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ein Beispiel für eine Algebra, die filtriert ist, aber nicht graduiert.

Wahrscheinlichkeitstheorie

→ Hauptartikel: Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} }$ eine Indexmenge.

Dann heißt d​ie Familie v​on σ-Algebren

${\displaystyle {\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$

eine Filtrierung (in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ oder auf ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$), falls:

für alle ${\displaystyle s,t\in T}$ mit ${\displaystyle s\leq t}$ gilt ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {A}}}$.

Ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$ eine Filtrierung, so wird ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T},P)}$ auch ein gefilterter Wahrscheinlichkeitsraum genannt.

Literatur

• John Michael Boardman, M.D.: Homotopy Invariant Algebraic Structures, AMS SpecialsSession: A Conference in Honor of Mike Boardman (Contemporary Mathematics). American Mathematical Soc.
• John McCleary: A User’s Guide to Spectral Sequences (= Cambridge studies in advanced mathematics. Nr. 58). 2. Auflage. Cambridge University Press, 2001, ISBN 0-521-56759-9.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Filtration. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. Filtration. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
2. Albrecht Dold: Lectures on Algebraic Topology. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1972, ISBN 978-3-662-00756-3, S. 85.
3. N. Bourbaki: Commutative Algebra. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1989, ISBN 978-3-540-64239-8, S. 162.
4. Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. Vieweg+Teubner Verlag, 1997, ISBN 978-3-528-07287-2, S. 238.