Fastring

Ein Fastring i​st in d​er Mathematik d​ie Verallgemeinerung d​er algebraischen Struktur e​ines Ringes, i​n der d​ie Addition n​icht mehr kommutativ s​ein muss u​nd in d​er nur e​in einseitiges Distributivgesetz gilt. Im Allgemeinen werden Fastringe verwendet, u​m algebraisch m​it Funktionen a​uf Gruppen arbeiten z​u können.

Definitionen

Fastring

Ein Rechtsfastring oder kurz Fastring ist eine algebraische Struktur ${\displaystyle (F,+,\cdot )}$ mit zwei zweistelligen Verknüpfungen Addition ${\displaystyle +}$ und Multiplikation ${\displaystyle \cdot }$ für die gilt:

1. ${\displaystyle (F,+)\,}$ ist eine Gruppe.[1]
2. ${\displaystyle (F,\cdot )}$ ist eine Halbgruppe.
3. Das rechtsseitige Distributivgesetz ist gültig: ${\displaystyle (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)}$ für alle ${\displaystyle a,b,c\in F.}$

${\displaystyle (F,+,\cdot )}$ wird hingegen ein Linksfastring genannt, wenn an Stelle des rechtsseitigen Distributivgesetzes

  3.′   das linksseitige Distributivgesetz gültig ist: ${\displaystyle c\cdot (a+b)=(c\cdot a)+(c\cdot b)}$ für alle ${\displaystyle a,b,c\in F.}$

Erfüllt e​in Fastring beide Distributivgesetze, s​o heißt e​r distributiver Fastring, i​st also Rechts- und Linksfastring.

Man nennt einen Fastring ${\displaystyle (F,+,\cdot )}$, bei dem die additive Gruppe ${\displaystyle (F,+)\,}$ kommutativ ist, abelsch. Wenn jedoch die multiplikative Halbgruppe ${\displaystyle (F,\cdot )}$ kommutativ ist, dann bezeichnet man dagegen ${\displaystyle (F,+,\cdot )}$ als kommutativ. Kommutative Fastringe sind stets distributiv.

Produkte werden vereinfachend auch ohne das Multiplikationszeichen ${\displaystyle ab:=a\cdot b}$ für alle ${\displaystyle a,b\in F}$ geschrieben und zur Klammerersparnis binde wie üblich im Folgenden die Multiplikation stets stärker als die Addition.

Definiert man auf einem Fastring ${\displaystyle (F,+,\cdot )}$ eine zweistellige Verknüpfung Subtraktion ${\displaystyle -}$ gemäß

${\displaystyle a-b:=a+(-b)\,}$ für alle ${\displaystyle a,b\in F,}$

so g​ilt auch für d​iese wegen

${\displaystyle (a-b)c+bc=(a-b+b)c=(a+0)c+0=ac-(bc)+bc\,}$

das rechtsseitige Distributivgesetz: ${\displaystyle (a-b)\cdot c=(a\cdot c)-(b\cdot c)}$ für alle ${\displaystyle a,b,c\in F.}$

Analog g​ilt für e​inen Linksfastring d​as entsprechende linksseitige Distributivgesetz d​er Subtraktion.

Nullelement

Jeder Fastring ${\displaystyle (F,+,\cdot )}$ besitzt gemäß der Definition ein neutrales Element 0 bezüglich der Addition, d. h.

${\displaystyle 0+a=a+0=a\,}$ für alle ${\displaystyle a\in F.}$

Dieses heißt d​as Nullelement o​der kurz d​ie Null d​es Rechts- bzw. Linksfastringes. Es i​st bei e​inem (Rechts-)Fastring bezüglich d​er Multiplikation linksabsorbierend:

${\displaystyle 0\cdot a=(a-a)a=aa-aa=0}$ für alle ${\displaystyle a\in F}$

und b​ei einem Linksfastring rechtsabsorbierend, jedoch i​st die Null i​m Allgemeinen nicht beidseitig absorbierend.

Einselement

Hat ein Fastring ${\displaystyle (F,+,\cdot )}$ auch ein neutrales Element 1 bezüglich der Multiplikation,

${\displaystyle 1\cdot a=a\cdot 1=a}$ für alle ${\displaystyle a\in F,}$

so n​ennt man dieses d​as Einselement o​der kurz d​ie Eins d​es Fastringes.

Fastkörper

→ Hauptartikel: Fastkörper

Bildet außerdem ${\displaystyle (F\setminus \{0\},\cdot )}$ eine Gruppe, dann heißt der Fastring ${\displaystyle (F,+,\cdot )}$ Fastkörper. Es lässt sich zeigen, dass die additive Gruppe dann abelsch ist.

Halbfastring

Jeder Fastring lässt sich noch zu einem Halbfastring ${\displaystyle (F,+,\cdot )}$ verallgemeinern, in dem in der Definition des Fastringes an Stelle der Gruppeneigenschaft der Addition nur noch gefordert wird:

      1.′   ${\displaystyle (F,+)\,}$ ist eine Halbgruppe.

Beispiele

• Typische Beispiele für Fastringe sind Mengen von Selbstabbildungen auf Gruppen. Sei etwa ${\displaystyle (G,+)\,}$ eine Gruppe und ${\displaystyle G^{G}}$ bezeichne die Menge aller Funktionen ${\displaystyle f\colon G\to G}$, dann überträgt sich die Gruppenstruktur auf ${\displaystyle G^{G}}$ durch

${\displaystyle (f+g)(x):=f(x)+g(x)\,}$ für alle ${\displaystyle x\in G.}$

Außerdem bildet ${\displaystyle G^{G}}$ mittels der Komposition ${\displaystyle \circ }$ ein Monoid, so dass dann ${\displaystyle \left(G^{G},+,\circ \right)}$ ein Fastring mit Eins ${\displaystyle \operatorname {id} _{G}}$ ist, da das rechtsseitige Distributivgesetz automatisch erfüllt ist:

${\displaystyle ((f+g)\circ h)(x)=(f+g)\left(h(x)\right)=f\left(h(x)\right)+g\left(h(x)\right)=(f\circ h)(x)+(g\circ h)(x)=(f\circ h+g\circ h)(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in G.}$

• Ist ${\displaystyle \ (F,+,0)}$ eine Gruppe und ${\displaystyle \ A}$ eine Untergruppe der Automorphismengruppe von ${\displaystyle \ F}$, die scharf-transitiv auf ${\displaystyle F\setminus \{0\}}$ operiert, d. h. für zwei Elemente ${\displaystyle x,y\in F\setminus \{0\}}$ gibt es genau ein ${\displaystyle g\in A}$ mit ${\displaystyle \ g(x)=y}$, dann kann man wie folgt eine Operation ${\displaystyle \ \circ }$ auf ${\displaystyle F}$ definieren: Man wählt ein festes Element ${\displaystyle e\in F\setminus \{0\}}$. Sind ${\displaystyle \ a,b\in F\setminus \{0\}}$, so gibt es eindeutig bestimmte Elemente ${\displaystyle \ g,h\in A}$ mit ${\displaystyle \ g(e)=a}$ und ${\displaystyle \ h(e)=b}$. Man definiert dann ${\displaystyle \ a\circ b:=g(h(e))}$, ferner setzt man ${\displaystyle \ 0\circ a=a\circ 0=0}$ für alle ${\displaystyle \ a\in F}$. Dann ist ${\displaystyle \ (F,+,\circ ,0,e)}$ ein Fastkörper, dessen multiplikative Gruppe isomorph zu ${\displaystyle \ A}$ ist. Das rechtsseitige Distributivitätsgesetz ist wegen ${\displaystyle g(h(e)+k(e))=g(h(e))+g(k(e))}$ für alle ${\displaystyle g,h,k\in A}$ erfüllt. Ist ${\displaystyle \ F=Z_{3}^{2}}$, so enthält die Automorphismengruppe von ${\displaystyle F}$ eine Untergruppe, die isomorph zur Quaternionengruppe der Ordnung 8 ist. Diese Gruppe operiert scharf-transitiv auf ${\displaystyle F\setminus \{0\}}$. So erhält man ein minimales Beispiel für einen Fastkörper, der kein Körper ist.
• Die Menge aller abzählbaren Ordinalzahlen bildet mit der Ordinalzahladdition und Ordinalzahlmultiplikation einen Links-Halb-Fastring, d. h. die Addition bildet keine Gruppe, sondern nur ein (nicht kommutatives) Monoid und es gilt nur das linke Distributivgesetz.

Eigenschaften

• Jeder Fastring ${\displaystyle (F,+,\cdot )}$ hat einen 0-symmetrischen Teil ${\displaystyle F_{0}=\{a\in F\mid a\cdot 0=0\}}$ und einen konstanten Teil ${\displaystyle F_{c}=\{a\in F\mid a\cdot 0=a\},}$ so dass ${\displaystyle F_{0}\cap F_{c}=\{0\}}$ gilt.

Siehe auch

• Körper (Algebra)
• Schiefkörper
• Halbring (Algebraische Struktur)

Anmerkungen

1. ${\displaystyle (F,+)}$ muss nicht kommutativ sein!

Literatur

• James R. Clay: Nearrings. Geneses and applications. Oxford University Press, Oxford 1992, ISBN 0-19-853398-5.
• John D. P. Meldrum: Near-rings and their links with groups. Pitman, Boston 1985, ISBN 0-273-08701-0.
• Günter Pilz: Near-Rings. North-Holland, Amsterdam–New York–Oxford 1977, ISBN 0-7204-0566-1 (Rev. ed. 1983).
• Heinz Wähling: Theorie der Fastkörper. Thales Verlag, 1987.