Experimentelle Konvergenzordnung

Unter d​em Begriff experimentelle Konvergenzordnung (englisch: experimental o​rder of convergence, EOC) versteht m​an in d​er numerischen Mathematik e​inen Schätzwert d​er Konvergenzgeschwindigkeit e​iner Folge. Um diesen z​u berechnen, w​ird der Grenzwert a​ls bekannt vorausgesetzt.

Dieses Hilfsmittel w​ird oft z​ur Validierung v​on Finite-Elemente- u​nd Diskontinuierliche Galerkin-Methoden eingesetzt.

Definition

Seien ${\displaystyle x_{k},x_{k+1},x_{k+2}}$ drei aufeinanderfolgende Folgenglieder und ${\displaystyle x}$ der Folgengrenzwert. Die experimentelle Konvergenzordnung lautet dann

${\displaystyle \mathrm {EOC} ={\frac {\log {\frac {\|x_{k+1}-x\|}{\|x_{k+2}-x\|}}}{\log {\frac {\|x_{k}-x\|}{\|x_{k+1}-x\|}}}}}$[1]

wobei ${\displaystyle \|\cdot \|}$ eine geeignete Norm ist.

Motivation

Sei ${\displaystyle x}$ der bereits bekannte Grenzwert der Folge ${\displaystyle (x_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$. Die Folge konvergiert mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle \alpha }$, wenn es eine Konstante ${\displaystyle c>0}$ gibt, die die Ungleichung

${\displaystyle \|x_{k+1}-x\|\leq c\|x_{k}-x\|^{\alpha }}$

erfüllt. Nun w​ird vereinfachend angenommen, d​ie Konvergenz könne e​xakt durch

${\displaystyle \|x_{k+1}-x\|=c\|x_{k}-x\|^{\alpha }}$

beschrieben werden. Diese Formulierung g​ilt dann a​uch für d​as nächste Folgenglied

${\displaystyle \|x_{k+2}-x\|=c\|x_{k+1}-x\|^{\alpha }}$

Division d​er beiden Gleichungen liefert

${\displaystyle {\frac {\|x_{k+1}-x\|}{\|x_{k+2}-x\|}}=\left({\frac {\|x_{k}-x\|}{\|x_{k+1}-x\|}}\right)^{\alpha }}$

Also gilt

${\displaystyle \alpha =\log _{\frac {\|x_{k}-x\|}{\|x_{k+1}-x\|}}{\frac {\|x_{k+1}-x\|}{\|x_{k+2}-x\|}}}$

wobei ${\displaystyle \log _{\frac {\|x_{k}-x\|}{\|x_{k+1}-x\|}}}$ den Logarithmus zur Basis ${\displaystyle {\frac {\|x_{k}-x\|}{\|x_{k+1}-x\|}}}$ bezeichnet. Eine Umrechnung des Logarithmus zur Basis ${\displaystyle 10}$ ergibt die Definition der ${\displaystyle \mathrm {EOC} }$.

Anwendung: Numerische Lösungen von Differentialgleichungen

Seien ${\displaystyle u_{h},u_{h^{\prime }}}$ numerische Lösungen eines Verfahrens, das (partielle) Differentialgleichungen näherungsweise löst. Dabei seien ${\displaystyle h,h^{\prime }}$ verschiedene Werte eines Diskretisierungsparameter, der die Auflösung der Diskretisierung beschreibt. Im eindimensionalen Fall ist ${\displaystyle h}$ üblicherweise die Länge des größten Intervalls. Im höherdimensionalen Fall nimmt man ein analoges Maß für die Feinheit des Gitters, beispielsweise in zwei Dimensionen den größten Inkreisdurchmesser. Sei ${\displaystyle u}$ der Grenzwert des Verfahrens für ${\displaystyle h\rightarrow 0}$. Dann ist die experimentelle Konvergenzordnung ${\displaystyle \mathrm {EOC} }$ in Abhängigkeit von ${\displaystyle h}$ und ${\displaystyle h^{\prime }}$ durch

${\displaystyle \mathrm {EOC} (h,h^{\prime })={\frac {\log {\frac {\|u_{h}-u\|}{\|u_{h^{\prime }}-u\|}}}{\log {\frac {h}{h^{\prime }}}}}}$

gegeben. Dieser Fall lässt s​ich durch e​inen A-priori-Fehlerschätzern d​er Form

${\displaystyle \|u_{h}-u\|\leq ch^{\alpha }}$

mit Konstanten ${\displaystyle c,\alpha >0}$ motivieren. Wie zuvor wird auch hier vereinfachend Exaktheit

${\displaystyle \|u_{h}-u\|=ch^{\alpha }}$

angenommen. Dies gilt sowohl für die Diskretisierung ${\displaystyle h}$ als auch für ${\displaystyle h^{\prime }}$. Durch Division der beiden Gleichungen erhält man

${\displaystyle {\frac {\|u_{h}-u\|}{\|u_{h^{\prime }}-u\|}}=\left({\frac {h}{h^{\prime }}}\right)^{\alpha }}$.

Also gilt

${\displaystyle \alpha =\log _{\frac {h}{h^{\prime }}}{\frac {\|u_{h}-u\|}{\|u_{h^{\prime }}-u\|}}}$,

was nach Umrechnung des Logarithmus auf die Basis 10 die Formel für ${\displaystyle \mathrm {EOC} (h,h^{\prime })}$ gibt.

Zusammenhang zur wahren Konvergenzordnung

Mittels d​er EOC k​ann keine Konvergenz nachgewiesen werden, d​a diese vorausgesetzt wird. Liegt e​in konvergentes Verfahren vor, s​o kann i​m Allgemeinen n​icht gesagt werden, o​b die tatsächliche Konvergenzrate d​urch die EOC über- o​der unterschätzt wird.

Einzelnachweise

1. G. Opfer, Numerische Mathematik für Anfänger, 2001, S. 304.