Erdős-Vermutung über arithmetische Folgen

Die Erdős-Vermutung über arithmetische Folgen ist ein ungelöstes Problem aus der Zahlentheorie. Die Vermutung besagt, dass jede Menge ${\displaystyle A}$ mit

${\displaystyle \sum _{n\in A}{\frac {1}{n}}\ =\ \infty ,}$

eine arithmetische Folge beliebiger Länge enthält.

Geschichte

Zunächst stellten Paul Erdős u​nd Paul Turán i​m Jahre 1936 d​ie schwächere Vermutung auf, d​ass jede Menge positiver ganzer Zahlen m​it positiver Dichte unendlich v​iele arithmetische Folgen d​er Länge 3 enthalten müsse. Das w​urde von Klaus Roth i​m Jahre 1952 bewiesen.

1976 b​ot Erdős 3000 US-Dollar für d​ie Lösung d​es Problems. Es i​st bisher ungelöst (Stand: 2021).

Folgerungen

Satz von Green-Tao

Der Satz v​on Green-Tao besagt, d​ass die Primzahlen beliebig l​ange arithmetische Folgen enthalten. Das ergibt s​ich aus d​er Erdős-Vermutung, w​eil die Reihe d​er Primzahl-Reziproken divergiert.

Der Beweis ergibt sich aus einem Widerspruch. Nehme an, dass die Reihe ${\displaystyle \sum _{p\in P}{\frac {1}{p}}}$ konvergiert. Dann gibt es eine natürliche Zahl ${\displaystyle k}$ mit ${\displaystyle \sum _{i\geq k+1}{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {1}{2}}}$. Nenne die Primzahlen ${\displaystyle p_{1},p_{2},....,p_{k}}$ kleine Primzahlen und die anderen ${\displaystyle p_{k+1},p_{k+2},....}$ große Primzahlen. Für eine natürliche Zahl ${\displaystyle N}$ gilt

${\displaystyle \sum _{i\geq k+1}{\frac {N}{p_{i}}}<{\frac {N}{2}}}$.

Sei ${\displaystyle N_{b}}$ die Anzahl der positiven ganzen Zahlen ${\displaystyle n\leq N}$, die durch mindestens eine große Primzahl teilbar sind, und ${\displaystyle N_{s}}$ die Anzahl jener, die nur kleine Primteiler besitzen. Wir werden zeigen, dass für ein geeignetes ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N_{b}+N_{s}<N}$ gilt, was den gewünschten Widerspruch erzeugt. Um ${\displaystyle N_{b}}$ abzuschätzen, bemerke man, dass ${\displaystyle \lfloor {\frac {N}{p_{i}}}\rfloor }$ die positiven ganzen Zahlen ${\displaystyle n\leq N}$ zählt, die Vielfaches von ${\displaystyle p_{i}}$ sind. Wir erhalten daraus

${\displaystyle N_{b}\leq \sum _{i\geq k+1}{\frac {N}{p_{i}}}<{\frac {N}{2}}}$. (2)

Nun betrachten wir ${\displaystyle N_{s}}$. Wir schreiben jede Zahl ${\displaystyle n\leq N}$, die nur kleine Primteiler hat, in der Form ${\displaystyle n=a_{n}b_{n}^{2}}$, wobei ${\displaystyle a_{n}}$ den quadratfreien Teil bezeichnet. Jedes ${\displaystyle a_{n}}$ ist dann ein Produkt von verschiedenen kleinen Primzahlen, und wir schließen, dass es genau ${\displaystyle 2^{k}}$ verschiedene quadratfreie Teile gibt. Weiter sehen wir wegen ${\displaystyle b_{n}\leq {\sqrt {n}}\leq N}$, dass es höchstens ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$ verschiedene Quadratteile gibt, und es folgt ${\displaystyle N_{s}\leq 2^{k}{\sqrt {N}}}$.

Da (2) für jedes ${\displaystyle N}$ gilt, müssen wir nur eine Zahl ${\displaystyle N}$ finden, die ${\displaystyle 2^{k}{\sqrt {N}}\leq {\frac {N}{2}}}$ bzw., ${\displaystyle 2^{k+1}\leq {\sqrt {N}}}$ erfüllt. Solch eine Zahl ist zum Beispiel ${\displaystyle N=2^{2k+2}}$.

Satz von Szemerédi

Die Reziprokenreihe j​eder Menge m​it positiver Dichte divergiert, d​aher folgt a​us der Vermutung v​on Erdős d​er Satz v​on Szemerédi.

Literatur

• Klaus F. Roth: On certain sets of integers. J. Lond. Math. Soc. 28, 104–109 (1953).