Endliche Präsentierbarkeit (Modul)

Die endliche Präsentierbarkeit i​st ein Konzept a​us der mathematischen Theorie d​er Moduln. Ein Modul i​st endlich präsentierbar, w​enn er e​in endliches Erzeugendensystem besitzt, für d​as die Relationen, d​ie zwischen dessen Elementen bestehen dürfen, e​iner Endlichkeitsbedingung unterworfen sind.

Präsentation eines Moduls

Es sei ${\displaystyle M}$ ein Linksmodul über einem Ring ${\displaystyle R}$. Ist ${\displaystyle (m_{i})_{i\in I}}$ ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle M}$ und bezeichnet ${\displaystyle R^{(I)}}$ die ${\displaystyle I}$-fache direkte Summe von ${\displaystyle R}$ mit den Basis-Elementen ${\displaystyle e_{i},\,i\in I}$, so gibt es genau einen Homomorphismus ${\displaystyle f:R^{(I)}\rightarrow M}$ mit ${\displaystyle f(e_{i})=m_{i}}$. Da ${\displaystyle (m_{i})_{i\in I}}$ den Modul ${\displaystyle M}$ erzeugt, ist ${\displaystyle f}$ surjektiv und man erhält eine kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\rightarrow \mathrm {ker} (f)\rightarrow R^{(I)}{\xrightarrow {f}}M\rightarrow 0}$,

die man die zum Erzeugendensystem gehörige Präsentation von ${\displaystyle M}$ nennt.[1]

In obiger Definition enthält ${\displaystyle \mathrm {ker} (f)}$, der sogenannte Relationenmodul, Informationen über die Relationen, die zwischen den erzeugenden Elementen bestehen. Ist im Extremfall ${\displaystyle \mathrm {ker} (f)=\{0\}}$, so ist ${\displaystyle f:R^{(I)}\rightarrow M}$ ein Isomorphismus, der die kanonische Basis ${\displaystyle (e_{i})_{i\in I}}$ auf ${\displaystyle (m_{i})_{i\in I}}$ abbildet, das heißt letzteres ist eine Basis von ${\displaystyle M}$, insbesondere ist ${\displaystyle M}$ in diesem Fall ein freier Modul. Der hier zu definierende Begriff fordert die Existenz eines endlichen Erzeugendensystems, dessen Elemente nicht zu vielen Relationen unterworfen sind:

Ein Modul ${\displaystyle M}$ heißt endlich präsentierbar, wenn es einen endlich erzeugten freien Modul ${\displaystyle F}$ und einen surjektiven Homomorphismus ${\displaystyle f:F\rightarrow M}$ gibt, so dass auch ${\displaystyle \mathrm {ker} (f)}$ endlich erzeugt ist.

Da alle endlich erzeugten freien ${\displaystyle R}$-Moduln zu einem ${\displaystyle R^{n}}$ mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ isomorph sind, hat man also eine kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\rightarrow \mathrm {ker} (f)\rightarrow R^{n}{\xrightarrow {f}}M\rightarrow 0}$

mit endlich erzeugtem ${\displaystyle \mathrm {ker} (f)}$ [2].

Beispiele

• Endlich erzeugte Moduln über einem noetherschen Ring sind endlich präsentierbar, denn in obiger Definition ist ${\displaystyle \mathrm {ker} (f)}$ als Untermodul des noetherschen Moduls ${\displaystyle R^{n}}$ endlich erzeugt.
• Jeder endlich erzeugte projektive Modul ist endlich präsentierbar.[3]

Eigenschaften

Relationenmoduln

Ist ${\displaystyle M}$ endlich präsentierbar, so ist definitionsgemäß der Kern einer bestimmten Surjektion eines endlich erzeugten freien Moduls auf ${\displaystyle M}$ endlich erzeugt. Es zeigt sich, dass jeder Relationenmodul zu einem endlichen Erzeugendensystem endlich erzeugt ist, es gilt sogar:

• Ist ${\displaystyle M}$ endlich präsentierbar und ${\displaystyle f:N\rightarrow M}$ surjektiv mit endlich erzeugtem Modul ${\displaystyle N}$, so ist ${\displaystyle \mathrm {ker} (f)}$ endlich erzeugt.[4]

Zum Beweis betrachte m​an neben d​er kurzen exakten Sequenz

${\displaystyle 0\rightarrow \mathrm {ker} (f)\rightarrow N{\xrightarrow {f}}M\rightarrow 0}$

auch d​ie kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow R^{n}\rightarrow M\rightarrow 0}$

aus der Definition der endlichen Präsentierbarkeit mit endlich erzeugtem Modul ${\displaystyle K}$. Nimmt man zusätzlich an, dass ${\displaystyle N}$ projektiv ist, so folgt aus dem Lemma von Schanuel, dass ${\displaystyle \mathrm {ker} (f)\oplus R^{n}\cong N\oplus K}$, das heißt ${\displaystyle \mathrm {ker} (f)}$ ist direkter Summand eines endlich erzeugten Moduls und daher selbst endlich erzeugt. Der allgemeine Fall kann darauf zurückgeführt werden.

Lokalisierung von Homomorphismen

Ist ${\displaystyle S}$ eine multiplikative Teilmenge des kommutativen Ringes ${\displaystyle R}$, so kann man ${\displaystyle R}$-Moduln nach ${\displaystyle S}$ lokalisieren. Ist ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ eine ${\displaystyle R}$-lineare Abbildung, so ist

${\displaystyle f_{S}:M_{S}\rightarrow N_{S},\quad f_{S}\left({\frac {x}{s}}\right):={\frac {f(x)}{s}}}$

eine ${\displaystyle R_{S}}$-lineare Abbildung, und die Zuordnung

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(M,N)\rightarrow \mathrm {Hom} _{R_{S}}(M_{S},N_{S}),\,f\mapsto f_{S}}$

induziert eine ${\displaystyle R_{S}}$-lineare Abbildung

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(M,N)_{S}\rightarrow \mathrm {Hom} _{R_{S}}(M_{S},N_{S}).}$

Es stellt s​ich nun d​ie Frage, w​ann diese Abbildung e​in Isomorphismus ist. Es gilt[5]

• Es seien ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring, ${\displaystyle S\subset R}$ multiplikativ und ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle R}$-Moduln. Ist ${\displaystyle M}$ endlich präsentierbar, so ist obige Abbildung

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(M,N)_{S}\rightarrow \mathrm {Hom} _{R_{S}}(M_{S},N_{S}).}$

ein Isomorphismus.

Literatur

• Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie (Vieweg-Studium; Bd. 46). Vieweg, Braunschweig 1980, ISBN 3-528-07246-6.
• Louis H. Rowen: Ring Theory, Bd. 1 (Pure and applied mathematics; Bd. 127). Academic Press, Boston, Mass. 1988, ISBN 0-12-599841-4.

Einzelnachweise

1. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Definition IV.1.8.
2. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Definition IV.1.9.
3. Louis H. Rowen: Ring Theory, Bd. 1, Examples 2.8.28.
4. Louis H. Rowen: Ring Theory, Bd. 1, Proposition 2.8.29.
5. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Satz IV.1.10.