Eigenspinor

Eigenspinoren stellen i​n der Quantenmechanik d​ie Basisvektoren dar, d​ie den Spin-Zustand e​ines Teilchens beschreiben. Für e​in einzelnes Spin-1/2-Teilchen können s​ie als d​ie Eigenvektoren d​er Pauli-Matrizen betrachtet werden. In Termen d​er Physik zählen Eigenspinoren n​icht zu Vektoren, sondern z​u den Spinoren. Sie bilden e​in vollständiges Orthonormalsystem.

Hintergrund

Der Spin ${\displaystyle {\vec {S}}}$ eines Teilchens gehorcht der Drehimpulsalgebra, daher sind nicht alle Komponenten des Spins gleichzeitig messbar. Es ist daher nicht möglich, alle drei Komponenten ${\displaystyle S_{x},S_{y},S_{z}}$ des Spins in allen drei Raumdimensionen gleichzeitig anzugeben, sondern nur gleichzeitig seinen Betrag ${\displaystyle |{\vec {S}}|=s(s+1)}$ und seine Projektion auf eine Koordinatenachse. Aufgrund der Quantisierung des Spins in Einheiten des (halben) reduzierten planckschen Wirkungsquantums ${\displaystyle \hbar }$ existieren ${\displaystyle 2s+1}$ verschiedene solche Einstellungen.

Spinoren für Teilchen mit Spin ½

Für ein Teilchen mit dem Spin 1/2, gibt es somit nur zwei mögliche Eigenzustände für den Spin: parallel oder antiparallel zu einer Koordinatenachse. In Bra-Ket-Notation als Zustandsvektoren wird der Spin daher als zweikomponentiger Spinor notiert. Der parallele Spin wird als ${\displaystyle |0\rangle }$, der antiparallele als ${\displaystyle |1\rangle }$ bezeichnet. Konventionell wird das Koordinatensystem so gewählt, dass die Projektion auf die ${\displaystyle z}$-Achse die ausgezeichnete Richtung darstellt. Damit gilt ${\displaystyle \chi _{\pm }^{z}=\chi _{\pm }}$ und für die übrigen Raumrichtungen:

${\displaystyle S_{z}}$	${\displaystyle S_{x}}$	${\displaystyle S_{y}}$
${\displaystyle \chi _{+}^{z}=|0\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle \chi _{+}^{x}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle +|1\rangle \right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle \chi _{+}^{y}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle +\mathrm {i} |1\rangle \right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\\mathrm {i} \end{bmatrix}}}$
${\displaystyle \chi _{-}^{z}=|1\rangle ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle \chi _{-}^{x}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle -|1\rangle \right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle \chi _{-}^{y}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle -\mathrm {i} |1\rangle \right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-\mathrm {i} \end{bmatrix}}}$

Kugelkoordinaten (${\displaystyle r,\theta ,\varphi }$): Radius ${\displaystyle r}$, Polarwinkel ${\displaystyle \theta }$, und Azimutalwinkel ${\displaystyle \varphi }$

Diese Ergebnisse sind Spezialfälle der Eigenspinoren für die durch ${\displaystyle \theta }$ und ${\displaystyle \varphi }$ festgelegten Parameter in Kugelkoordinaten – diese Eigenspinoren sind:

${\displaystyle \chi _{+}={\begin{bmatrix}\cos(\theta /2)\\e^{i\varphi }\sin(\theta /2)\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \chi _{-}={\begin{bmatrix}-e^{-i\varphi }\sin(\theta /2)\\\cos(\theta /2)\\\end{bmatrix}}}$

Spinoren für Teilchen mit höherem Spin

Spinoren für Teilchen mit Spin ${\displaystyle \textstyle s>{\frac {1}{2}}}$ können als dyadische Produkte der Basisspinoren für Teilchen vom Spin ½ dargestellt werden.

Einzelnachweise

• Griffiths, David J. (2005) Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.