Eigenschaft (u) von Pelczynski

Die Eigenschaft (u) v​on Pelczynski i​st eine i​m mathematischen Teilgebiet d​er Funktionalanalysis betrachtete Eigenschaft v​on Banachräumen. Sie g​eht auf d​en polnischen Mathematiker Aleksander Pełczyński zurück[1] u​nd setzt schwache Cauchy-Folgen u​nd schwach unbedingte Cauchy-Reihen i​n Beziehung.

Definition

Ein Banachraum ${\displaystyle X}$ hat die Eigenschaft (u), falls es zu jeder schwachen Cauchy-Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine schwach unbedingte Cauchy-Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{k}u_{k}}$ in ${\displaystyle X}$ gibt, so dass

${\displaystyle x_{n}-\sum _{k=1}^{n}u_{k}\quad {\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\quad 0}$   in der schwachen Topologie.[2][3]

Jede schwache Cauchy-Folge stimmt a​lso bis a​uf eine schwache Nullfolge m​it der Folge d​er Partialsummen e​iner schwach unbedingten Cauchy-Reihe, k​urz WUC-Reihe, überein.

Beispiele

• Jeder Banachraum mit unbedingter Schauderbasis hat die Eigenschaft (u).[4]
• Jeder schwach folgenvollständige Banachraum hat die Eigenschaft (u).
• Jeder Unterbanachraum eines Banachraums mit Eigenschaft (u) hat ebenfalls die Eigenschaft (u).[5][6]
• Der Funktionenraum ${\displaystyle C([0,1])}$ der stetigen Funktionen auf dem Intervall [0,1] und der Folgenraum ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ der beschränkten Folgen haben nicht die Eigenschaft (u).[7] Auch der James-Raum hat nicht die Eigenschaft (u).[8]

Bedeutung

Es kann mitunter schwierig sein, von einem Banachraum nachzuweisen, dass er keine unbedingte Basis hat. Das Fehlen der Eigenschaft (u) hat eine sogar noch stärkere Aussage zur Folge. Ein Raum ohne Eigenschaft (u) ist wegen der Vererbung dieser Eigenschaft auf Unterräume nicht einmal isomorph zu einem Unterbanachraum eines Banachraums mit unbedingter Basis. Nach obigen Beispielen gilt das für ${\displaystyle C([0,1])}$ und den James-Raum, insbesondere haben diese Räume keine unbedingte Basis.

Auch d​er Raum L¹([0,1]) k​ann nicht i​n einen Banachraum m​it unbedingter Basis eingebettet werden.[9] Der Beweis dieses Satzes i​st aufwändiger, d​enn da L¹([0,1]) a​ls schwach folgenvollständiger Raum[10] d​ie Eigenschaft (u) hat, k​ann obige Argumentation n​icht verwendet werden.

Es bestehen offenbar folgende Implikationen:

${\displaystyle X}$ hat eine unbedingte Basis.

${\displaystyle \Rightarrow \quad X}$ ist isomorph zu einem Unterbanachraum eines Banachraums mit unbedingter Basis.

${\displaystyle \Rightarrow \quad X}$ hat die Eigenschaft (u).

Die Umkehrungen gelten nicht. Die Räume ${\displaystyle \ell ^{p}}$ haben eine unbedingte Basis, enthalten aber für ${\displaystyle p\not =2}$ Unterräume ohne Basis.[11][12] Daher kann die Umkehrung der ersten Implikation nicht gelten. Das obige Beispiel L¹([0,1]) zeigt, dass auch die zweite Implikation nicht umgekehrt werden kann.

Einzelnachweise

1. A. Pelczynski: A connection between weakly unconditional convergence and weakly completeness of Banach spaces, Bull. Acad. Polon. Sci. (1958), Band 6, Seiten 251–253
2. C. D. Aliprantis, O. Burkinshaw: Positive operators, Springer-Verlag, ISBN 978-1-4020-5007-7, Definition 14.6
3. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Definition 3.5.1
4. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Satz 3.5.3
5. C. D. Aliprantis, O. Burkinshaw: Positive operators, Springer-Verlag, ISBN 978-1-4020-5007-7, Theorem 14.7
6. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Satz 3.5.2
7. C. D. Aliprantis, O. Burkinshaw: Positive operators, Springer-Verlag, ISBN 978-1-4020-5007-7, Beispiel 14.8
8. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Satz 3.5.4
9. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Theorem 6.3.3
10. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Theorem 5.2.10
11. A. M. Davie: The approximation problem for Banach spaces, Bull. London Math. Soc. (1973), Band 5, Seiten 261–266
12. A. Szankowski: Subspaces without the approximation property, Israel J. Math. (1978), Band 30, Seiten 123–129