Dynkin-System

Ein Dynkin-System (manchmal a​uch λ-System genannt) i​st ein Begriff a​us der Maßtheorie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik. Es i​st benannt n​ach dem russischen Mathematiker Eugene Dynkin. Sie s​ind in Kombination m​it dem Dynkinschen π-λ-Satz e​in wichtiges Hilfsmittel z​ur Herleitung v​on Eindeutigkeitsaussagen i​n der Maßtheorie u​nd Stochastik (siehe Maßeindeutigkeitssatz).

Definition

Eine Teilmenge ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ der Potenzmenge ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}$ einer nichtleeren Grundmenge ${\displaystyle \Omega }$ heißt Dynkin-System über ${\displaystyle \Omega }$, falls sie die folgenden Eigenschaften besitzt:

• Das System enthält die Grundmenge:

${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {D}}}$.

• Das System ist abgeschlossen unter Bildung von Komplementen:

${\displaystyle A\in {\mathcal {D}}\implies A^{c}\in {\mathcal {D}}}$.

• Das System ist abgeschlossen bezüglich abzählbarer Vereinigungen paarweise disjunkter Mengen:

${\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset {\mathcal {D}}}$ disjunkt ${\displaystyle \implies \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {D}}}$.

δ-Operator

Beliebige Durchschnitte von Dynkin-Systemen über ${\displaystyle \Omega }$ ergeben wieder ein Dynkin-System. Ist daher ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )}$ ein Mengensystem, dann wird durch

${\displaystyle \delta ({\mathcal {E}}):=\bigcap _{{\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {S}} \atop {\mathcal {S}}{\text{ Dynkin-System}}}{\mathcal {S}}.}$

ein Dynkin-System ${\displaystyle \delta ({\mathcal {E}})}$ definiert, genannt das von ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ erzeugte Dynkin-System. Es ist das kleinste Dynkin-System, welches ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ enthält. ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ heißt Erzeuger von ${\displaystyle \delta ({\mathcal {E}})}$.

Der δ-Operator ist ein Hüllenoperator. Teilweise wird er entsprechend der Namensgebung als ${\displaystyle \lambda }$-System auch als ${\displaystyle \lambda }$-Operator ${\displaystyle \lambda (\cdot )}$ notiert. Weitere alternative Bezeichnungen sind ${\displaystyle d({\mathcal {E}})}$ oder ${\displaystyle {\mathcal {D}}({\mathcal {E}})}$.

Das Dynkin-System-Argument

Mit Dynkin-Systemen lassen sich in vielen Fällen Aussagen über σ-Algebren relativ einfach beweisen. Sei ${\displaystyle \alpha }$ eine Aussage, die für Mengen ${\displaystyle A\subseteq \Omega }$ entweder zutrifft oder nicht. Weiter sei ${\displaystyle \Sigma }$ eine σ-Algebra mit einem durchschnittsstabilen Erzeuger ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$, für dessen Elemente man ${\displaystyle \alpha }$ zeigen kann. Nach dem Prinzip der guten Mengen betrachtet man nun das Mengensystem ${\displaystyle {\mathcal {D}}:=\{A\in \Sigma \colon A{\mbox{ erfüllt }}\alpha \}}$ und zeigt, dass es ein Dynkin-System ist. Dann folgt wegen der Durchschnittsstabilität von ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ einerseits ${\displaystyle \delta ({\mathcal {E}})=\sigma ({\mathcal {E}})}$, andererseits gilt aber auch ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {D}}\subseteq \Sigma }$ und damit wegen ${\displaystyle \Sigma =\sigma ({\mathcal {E}})=\delta ({\mathcal {E}})\subseteq {\mathcal {D}}}$ schon ${\displaystyle \Sigma ={\mathcal {D}}}$.

Die definierenden Eigenschaften e​ines Dynkin-Systems s​ind oft einfacher nachzuweisen, w​eil bei d​er Abgeschlossenheit gegenüber abzählbarer Vereinigung n​ur Folgen v​on paarweise disjunkten Einzelmengen betrachtet werden müssen, während b​ei σ-Algebren d​iese Zusatzeigenschaft n​icht zur Verfügung steht.

Zusammenhang mit weiteren Mengensystemen

Hierarchie der in der Maßtheorie verwendeten Mengensysteme

σ-Algebren

Jede σ-Algebra i​st immer a​uch ein Dynkin-System. Umgekehrt i​st jedes durchschnittsstabile Dynkinsystem a​uch eine σ-Algebra. Ein Beispiel[1] für e​in Dynkin-System, d​as keine σ-Algebra ist, ist

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\{\emptyset ,\{1,2\},\{3,4\},\{1,4\},\{2,3\},\{1,2,3,4\}\}}$

auf der Grundmenge ${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4\}}$. Das Mengensystem ist ein Dynkin-System, aber keine Algebra (da nicht Schnittstabil) und damit auch keine σ-Algebra.

Es gilt außerdem der Dynkinsche π-λ-Satz: Ist ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ein durchschnittsstabiles Mengensystem, so stimmen die von ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ erzeugte σ-Algebra und das von ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ erzeugte Dynkin-System überein.

Monotone Klassen

Dynkin-Systeme lassen sich auch über monotone Klassen definieren: Ein Mengensystem ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ist genau dann ein Dynkin-System, wenn ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ eine monotone Klasse ist, welche die Obermenge ${\displaystyle \Omega }$ enthält, und in der für beliebige Mengen ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {D}}}$ mit ${\displaystyle B\subset A}$ gilt, dass auch ${\displaystyle A\backslash B\in {\mathcal {D}}}$ ist.

Literatur

• Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, S. 20–21, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. Walter de Gruyter, Berlin u. a. 1992, ISBN 3-11-013626-0.

Einzelnachweise

1. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 4, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.