Direkte Summe abelscher Gruppen

Der Begriff direkte Summe abelscher Gruppen verallgemeinert d​en Begriff d​er direkten Summe v​on Vektorräumen. Er i​st von großer Bedeutung für d​ie Theorie abelscher Gruppen. Kann e​ine Gruppe i​n eine direkte Summe zerlegt werden, s​o wird dadurch d​ie Struktur d​er Gruppe a​uf einfachere Gruppen zurückgeführt. Neue Gruppen können a​us den direkten Summanden gebildet werden. Die meisten Struktursätze machen e​ine Aussage über e​ine direkte Zerlegung v​on Gruppen.

Definitionen

• Die abelsche Gruppe ${\displaystyle A}$ heißt genau dann direkte Summe zweier Untergruppen ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle A_{2}}$, wenn folgende zwei Bedingungen erfüllt sind.

1. ${\displaystyle A_{1}+A_{2}=A}$.
2. ${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}=0}$.

In diesem Fall wird geschrieben ${\displaystyle A=A_{1}\oplus A_{2}}$. Dabei bezeichnet ${\displaystyle 0}$ die Untergruppe, die nur das neutrale Element ${\displaystyle 0}$ enthält.

• Eine Untergruppe ${\displaystyle A_{1}\hookrightarrow A}$ heißt direkter Summand, wenn es eine Untergruppe ${\displaystyle A_{2}}$ gibt mit: ${\displaystyle A=A_{1}\oplus A_{2}}$. In diesem Fall heißt ${\displaystyle A_{2}}$ Komplement von ${\displaystyle A_{1}}$.
• ${\displaystyle A}$ heißt direkt unzerlegbar, wenn ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle 0}$ die einzigen direkten Summanden von ${\displaystyle A}$ sind.
• Sei ${\displaystyle (A_{i}\mid i\in I)}$ eine Familie von Untergruppen von ${\displaystyle A}$. Die Gruppe ${\displaystyle A}$ heißt direkte Summe der ${\displaystyle (A_{i}|i\in I)}$, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

1. ${\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}=A}$. Die Familie ${\displaystyle (A_{i}\mid i\in I)}$ erzeugt ${\displaystyle A}$.
2. Für jedes ${\displaystyle i\in I}$ gilt: ${\displaystyle A_{i}\cap \sum _{j\neq i}A_{j}=0}$.

Es wird geschrieben: ${\displaystyle A=\bigoplus \limits _{i\in I}A_{i}}$, oder ${\displaystyle A=A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}$, falls ${\displaystyle I=\{1,\dots ,n\}}$.[1]

Erläuterungen, einfache Sätze

• Es seien ${\displaystyle B,C}$ Untergruppen der abelschen Gruppe ${\displaystyle A}$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
  • Es ist ${\displaystyle A=B\oplus C}$.
  • Jedes ${\displaystyle a\in A}$ lässt sich eindeutig schreiben als ${\displaystyle a=b+c}$ mit ${\displaystyle b\in B,c\in C}$.
  • Es ist ${\displaystyle A=B+C}$ und aus ${\displaystyle 0=b+c}$ mit ${\displaystyle b\in B,c\in C}$ folgt ${\displaystyle b=0=c}$.
• Ist ${\displaystyle A=B\oplus C}$, so haben die beiden Endomorphismen ${\displaystyle \pi _{B}\colon A\ni b+c\mapsto b\in A}$ und ${\displaystyle \pi _{C}\colon a\ni b+c\mapsto c\in A}$ die folgende Eigenschaft: ${\displaystyle \pi _{B}^{2}=\pi _{B},\pi _{C}^{2}=\pi _{C},\pi _{C}\pi _{B}=\pi _{B}\pi _{C}=0}$ und ${\displaystyle 1_{A}=\pi _{B}+\pi _{C}}$. Dabei ist ${\displaystyle 1_{A}}$ die Identität auf ${\displaystyle A}$.

Homomorphismen liefern e​ine Möglichkeit, direkte Summanden z​u kennzeichnen u​nd zu erkennen:

• Seien ${\displaystyle A{\overset {f}{\longrightarrow }}B{\overset {g}{\longrightarrow }}C}$ Homomorphismen. Dann gilt:

1. ${\displaystyle gf}$ ist ein Monomorphismus ${\displaystyle \iff \operatorname {Bild} (f)\cap \operatorname {Kern} (g)=0}$ und ${\displaystyle f}$ ist ein Monomorphismus.
2. Ist ${\displaystyle gf}$ ein Epimorphismus, dann ist ${\displaystyle \operatorname {Bild} (f)+\operatorname {Kern} (g)=B}$.
3. Ist ${\displaystyle gf}$ ein Isomorphismus, dann ist ${\displaystyle \operatorname {Bild} (f)\oplus \operatorname {Kern} (g)=B}$.[2]

• Für eine Untergruppe ${\displaystyle B\hookrightarrow A}$ sind folgende Aussagen äquivalent:

1. ${\displaystyle B}$ ist direkter Summand in ${\displaystyle A}$.
2. Es gibt einen Endomorphismus ${\displaystyle \pi \colon A\to A}$ mit: ${\displaystyle \pi ^{2}=\pi }$ und ${\displaystyle \pi (A)=B}$.
3. Ist ${\displaystyle \iota \colon B\to A}$ die Inklusionsabbildung, so gibt es einen Homomorphismus ${\displaystyle \pi \colon A\to B}$ mit ${\displaystyle \pi \iota =1_{B}}$.

Beispiele

• ${\displaystyle 0}$ ist direkter Summand in jeder Gruppe.
• Es sei ${\displaystyle A}$ die zyklische Gruppe ${\displaystyle A=\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} =\{0,1,2,3,4,5\}}$ mit der zugehörigen Addition. Es sei ${\displaystyle U=\{0,3\},V=\{0,2,4\}}$. Dann ist ${\displaystyle A=U\oplus V}$. Es sind ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle V}$ Untergruppen von ${\displaystyle A}$. Ihr Durchschnitt ist ${\displaystyle 0}$ und ihre Summe ist ${\displaystyle A}$. Es ist beispielsweise ${\displaystyle 3+4=1{\bmod {6}}}$.
• Die Gruppen der ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ und der rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ sind unzerlegbar. Ist ${\displaystyle p}$ eine Primzahl, so ist ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ direkt unzerlegbar.
• Hat die abelsche Gruppe eine größte Untergruppe ${\displaystyle \neq A}$, dann ist ${\displaystyle A}$ direkt unzerlegbar. Ist ${\displaystyle p}$ eine Primzahl, so hat ${\displaystyle A=\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ die größte Untergruppe ${\displaystyle p\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \neq A}$. Also ist ${\displaystyle A}$ direkt unzerlegbar.
• Sind ${\displaystyle a,b}$ teilerfremde ganze Zahlen, so ist ${\displaystyle \mathbb {Z} /(a\cdot b)\mathbb {Z} =a\mathbb {Z} /(a\cdot b)\mathbb {Z} \oplus b\mathbb {Z} /(a\cdot b)\mathbb {Z} }$.
• Das letzte Beispiel hat eine starke Verallgemeinerung: Sei ${\displaystyle A}$ eine Gruppe und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle A\cdot n=0}$. Außerdem sei ${\displaystyle n=r\cdot s}$ mit teilerfremden ${\displaystyle r,s}$. Dann ist ${\displaystyle A=A\cdot r\oplus A\cdot s}$.
• Ist ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}=\{(z_{1},z_{2})|z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z} \}}$, so ist ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}={\vec {e_{1}}}\mathbb {Z} \oplus {\vec {e_{2}}}\mathbb {Z} }$, wobei ${\displaystyle {\vec {e_{1}}}=(1,0),{\vec {e_{2}}}=(0,1)}$ ist. Das Komplement von ${\displaystyle {\vec {e_{1}}}\mathbb {Z} }$ ist keineswegs eindeutig bestimmt. Es ist zum Beispiel auch ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}={\vec {e_{1}}}\mathbb {Z} \oplus (z,1)\mathbb {Z} }$ für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {Z} }$.
• Das letzte Beispiel gilt allgemeiner. Sei ${\displaystyle n\geq 1}$ eine natürliche Zahl. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}:=\{(z_{1},\dots ,z_{n})|z_{i}\in \mathbb {Z} \}}$ die Menge der ${\displaystyle n}$- Tupel mit Komponenten aus ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Weiter sei ${\displaystyle {\vec {e_{i}}}}$ das Tupel, das an der Stelle ${\displaystyle i}$ eine ${\displaystyle 1}$ hat und an anderen Stellen ${\displaystyle 0}$. Dann ist ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}=\bigoplus \limits _{i=1}^{n}{\vec {e}}_{i}\mathbb {Z} }$.
• Um zu bestimmen, ob eine Untergruppe von ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ direkter Summand ist, gibt es ein einfaches Kriterium:

Sei ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2})\in \mathbb {Z} ^{2}}$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${\displaystyle {\vec {a}}\mathbb {Z} }$ ist direkter Summand in ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$.
2. Es gibt ${\displaystyle b_{1},b_{2}\in \mathbb {Z} }$ mit ${\displaystyle a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}=1}$.

• Einige Gitter und Determinante als Flächeninhalt
• 
  Ein Gitter mit den erzeugenden Vektoren ${\displaystyle (1,0)\mathbb {Z} ,(0,1)\mathbb {Z} }$
• 
  Die Determinante als Flächeninhalt
• 
  Ein Gitter mit den erzeugenden Vektoren ${\displaystyle (1,1)\mathbb {Z} ,(-2,-1)\mathbb {Z} }$ wird dargestellt

Die Eigenschaft 2. des letzten Satzes hat eine geometrische Bedeutung: Die Untergruppe ${\displaystyle {\vec {a}}\mathbb {Z} }$ ist genau dann direkter Summand in ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$, wenn es einen Vektor ${\displaystyle {\vec {b}}=(b_{1},b_{2})}$ gibt, so dass ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}$ ein Parallelogramm vom Flächeninhalt 1 aufspannen.

• Die letzte Aussage lässt sich verallgemeinern. Ist ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}}$ so gilt: ${\displaystyle {\vec {a}}\mathbb {Z} }$ ist genau dann direkter Summand in ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$, wenn die Zahlen ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$den größten gemeinsamen Teiler ${\displaystyle 1}$ haben.

Primäre Gruppen

Der folgende Satz macht eine Aussage über die Zerlegung von Torsionsgruppen. Dazu wird definiert: Sei ${\displaystyle p}$ eine Primzahl. Die Gruppe ${\displaystyle A}$ heißt ${\displaystyle p}$-primär genau dann, wenn es zu jedem ${\displaystyle a\in A}$ ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gibt mit ${\displaystyle a\cdot p^{n}=0}$. Die Summe aller ${\displaystyle p}$-primären Untergruppen einer Gruppe ${\displaystyle A}$ ist ${\displaystyle p}$-primär. Es ist die größte ${\displaystyle p}$-primäre Untergruppe von ${\displaystyle A}$. Sie wird mit ${\displaystyle A_{p}}$ bezeichnet und heißt ${\displaystyle p}$-Primärkomponente von ${\displaystyle A}$. Es gilt:

Ist ${\displaystyle A}$ eine Torsionsgruppe, so ist ${\displaystyle A=\bigoplus \limits _{p{\text{ prim}}}A_{p}}$. Es ist ${\displaystyle A}$ direkte Summe seiner Primärkomponenten.

Universelle Eigenschaft

• Sei ${\displaystyle A=A_{1}+A_{2}}$ für zwei Untergruppen ${\displaystyle A_{1},A_{2}}$ und ${\displaystyle q_{i}\colon A_{i}\hookrightarrow A}$ die kanonischen Inklusionen. Es sind äquivalent:

1. ${\displaystyle A=A_{1}\oplus A_{2}}$.
2. Zu je zwei Homomorphismen ${\displaystyle f_{i}\colon A_{i}\to B,i\in \{1,2\}}$ gibt es genau einen Homomorphismus ${\displaystyle f\colon A\to B}$ mit ${\displaystyle f\circ q_{i}=f_{i}}$ für ${\displaystyle i\in \{1,2\}}$.

Die zweite Aussage d​es Satzes i​st die sogenannte universelle Eigenschaft d​er direkten Summe. Sie g​ilt für beliebige Indexmengen.

• Sei ${\displaystyle (A_{i}\mid i\in I)}$ eine Familie von Untergruppen mit ${\displaystyle \sum \limits _{i\in I}A_{i}=A}$. Und ${\displaystyle q_{i}\colon A_{i}\hookrightarrow A}$ seien die Inklusionen. Dann sind äquivalent:

1. Es ist ${\displaystyle \bigoplus \limits _{i\in I}A_{i}=A}$.
2. Zu jeder Familie von Homomorphismen ${\displaystyle f_{i}\colon A_{i}\to B}$ gibt es genau ein ${\displaystyle f\colon A\to B}$ mit ${\displaystyle f\circ q_{i}=f_{i}}$ . Das heißt, folgendes Diagramm ist für alle ${\displaystyle i\in I}$ kommutativ.

• Seien ${\displaystyle (A,q_{i})}$ und ${\displaystyle (S,s_{i})}$ zwei abelsche Gruppen mit ${\displaystyle q_{i}\colon A_{i}\to A}$ und ${\displaystyle s_{i}\colon A_{i}\to S}$. Gibt es zu jeder Familie ${\displaystyle f_{i}\colon A_{i}\to B}$ genau ein ${\displaystyle f\colon A\to B}$ mit ${\displaystyle f_{i}=f\circ q_{i}}$ und genau ein ${\displaystyle g\colon S\to B}$ mit ${\displaystyle f_{i}=g\circ s_{i}}$, so sind ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle S}$ isomorph.

Einige Struktursätze

1. Satz: Ist ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {Z} }$ ein Homomorphismus, so ist ${\displaystyle A=\operatorname {Kern} (f)\oplus a\mathbb {Z} }$ mit ${\displaystyle a\in A}$ und ${\displaystyle a\cdot \mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} }$.
2. Satz: Jede Untergruppe von ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ist direkte Summe von höchstens ${\displaystyle n}$ zyklischen Untergruppen.
3. Satz: Ist ${\displaystyle F}$ torsionsfrei und von ${\displaystyle n}$ Elementen erzeugt, so gibt es einen Monomorphismus ${\displaystyle F\to \mathbb {Z} ^{n}}$.
4. Folgerung: Ist ${\displaystyle F}$ eine von ${\displaystyle n}$ Elementen erzeugte torsionsfreie Gruppe, so gibt es ein ${\displaystyle k\leq n}$, so dass ${\displaystyle F}$ isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{k}}$ ist.
5. Ist ${\displaystyle A}$ endlich erzeugt, so ist die Torsionsuntergruppe direkter Summand von ${\displaystyle A}$.

Einzelnachweise

1. László Fuchs: Abelian Groups. Springer, 2015, ISBN 978-3-319-19421-9, S. 43.
2. Frank W. Anderson, Kent R. Fuller: Rings and Categories of Modules. Springer, 1992, ISBN 0-387-97845-3, S. 66.

Literatur

• Frank W. Anderson, Kent R. Fuller: Rings an Categories of Modules. Springer, 1992, ISBN 0-387-97845-3.
• László Fuchs: Abelian Groups. (= Springer Monographs in Mathematics). Springer International, 2015, ISBN 978-3-319-19421-9.
• Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7.

Weblinks

• Da es recht mühsam ist die Beweise zu den Tatsachen in der angegebenen Literatur zusammen zu suchen sind hier Beweise zusammengestellt.