Danielewski-Fläche

In der Mathematik stellt eine Danielewski-Fläche eine Verallgemeinerung des Raumes ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ dar und hat aus Sicht der komplexen Analysis ähnliche Eigenschaften wie ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$.

Definition

Eine Danielewski-Fläche ist eine algebraische Fläche, welche algebraisch isomorph ist zu einer Hyperfläche ${\displaystyle S\subset \mathbb {C} ^{3}}$, die als Nullstellenmenge eines Polynoms ${\displaystyle x^{n}\cdot y-p(z)\in \mathbb {C} [x,y,z]}$ definiert ist, wobei ${\displaystyle p\in \mathbb {C} [z]}$ ein Polynom in einer Variablen ist.

Elementare Eigenschaften

• Im Spezialfall ${\displaystyle n=1,\;p(z)=z}$ ist ${\displaystyle S=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {C} ^{3}:x\cdot y=z\right\}}$ isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$.
• Genau dann, wenn das Polynom ${\displaystyle p}$ nur einfache Nullstellen hat, ist ${\displaystyle S}$ nicht nur eine algebraische Fläche, sondern auch eine Komplexe Mannigfaltigkeit, da sie keine Singularitäten aufweist.
• Sei ${\displaystyle p(z)=(z-a_{1})\cdot (z-a_{2})\cdots (z-a_{m})}$ mit paarweise verschiedenen ${\displaystyle a_{i},a_{j}}$. Dann gilt:

${\displaystyle S=\left\{(x,p(z)/x^{n},z)\in \mathbb {C} ^{3},x\neq 0\right\}{\dot {\cup }}\left\{x=0,z=a_{1}\right\}{\dot {\cup }}\dots {\dot {\cup }}\left\{x=0,z=a_{m}\right\}}$

d. h. ${\displaystyle S}$ besteht im Prinzip aus ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle m}$ Kopien von ${\displaystyle \mathbb {C} }$, die daran angeklebt sind.

Automorphismengruppe

Die Gruppe der holomorphen Automorphismen einer Danielewski-Fläche, welche keine Singularitäten aufweist, verhält sich ähnlich wie im bekannten Spezialfall ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, das bedeutet, sie ist "groß" in dem Sinne, dass sich die die Gruppe erzeugenden Elemente nicht explizit angeben lassen. Wie im Fall von ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ lässt sich aber eine dichte Teilmenge der Automorphismengruppe mit Hilfe von verallgemeinerten Scherungen konkret beschreiben.

Weblinks

• Automorphisms of Danielewski surfaces (pdf, engl.)