Crystal-Ball-Funktion

Die Crystal-Ball-Funktion, benannt n​ach der Crystal Ball Collaboration, i​st eine Dichtefunktion e​iner asymmetrischen Wahrscheinlichkeitsverteilung, d​ie oft benutzt wird, u​m verschiedene verlustbehaftete Prozesse i​n der Hochenergiephysik z​u modellieren. Sie i​st zusammengesetzt a​us einem gaußförmigen zentralen Bereich, d​er für kleine Werte i​n ein Potenzgesetz übergeht. Die Funktion selber u​nd ihre e​rste Ableitung s​ind stetig.

Plot der Crystal-Ball-Funktion mit drei verschiedenen Parametersätzen

Die Crystal-Ball-Funktion i​st gegeben durch

${\displaystyle f(x;\alpha ,n,{\bar {x}},\sigma )=N\cdot {\begin{cases}\exp \left(-{\frac {(x-{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),&{\mbox{falls }}{\frac {x-{\bar {x}}}{\sigma }}>-\alpha \\A\cdot \left(B-{\frac {x-{\bar {x}}}{\sigma }}\right)^{-n},&{\mbox{falls }}{\frac {x-{\bar {x}}}{\sigma }}\leqslant -\alpha \end{cases}}}$

mit

${\displaystyle A=\left({\frac {n}{\left|\alpha \right|}}\right)^{n}\cdot \exp \left(-{\frac {\left|\alpha \right|^{2}}{2}}\right)}$

${\displaystyle B={\frac {n}{\left|\alpha \right|}}-\left|\alpha \right|}$

${\displaystyle N={\frac {1}{\sigma (C+D)}}}$

${\displaystyle C={\frac {n}{\left|\alpha \right|}}\cdot {\frac {1}{n-1}}\cdot \exp \left(-{\frac {\left|\alpha \right|^{2}}{2}}\right)}$

${\displaystyle D={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {\left|\alpha \right|}{\sqrt {2}}}\right)\right).}$

Dabei ist ${\displaystyle N}$ (Skwarnicki 1986) ein Normierungsfaktor, ${\displaystyle {\bar {x}}}$ und ${\displaystyle \sigma }$ sind Erwartungswert und Standardabweichung der Gauß-Verteilung, ${\displaystyle \alpha }$ bestimmt die Position des Übergangs zwischen Gauß-Verteilung und Potenzgesetz und ${\displaystyle n}$ ist der freie Parameter des Potenzgesetzes. erf ist die Fehlerfunktion.

Literatur

• J. E. Gaiser, Appendix-F Charmonium Spectroscopy from Radiative Decays of the J/Psi and Psi-Prime, Ph.D. Thesis, SLAC-R-255 (1982), S. 178. (PDF, 205 Seiten; 6,5 MB)
• M. J. Oreglia, A Study of the Reactions psi prime → gamma gamma psi, Ph.D. Thesis, SLAC-R-236 (1980), Appendix D.
• T. Skwarnicki, A study of the radiative CASCADE transitions between the Upsilon-Prime and Upsilon resonances, Ph.D Thesis (PDF; 41,7 MB), DESY F31-86-02(1986), Appendix E.