Bootstrapping (Zinsen)

Bootstrapping ist ein Verfahren, mit dem risikofreie Zinssätze aus Renditen von Kuponanleihen, welche an effizienten Märkten gehandelt werden, hergeleitet werden können. Mit den hergeleiteten Zinssätzen lässt sich dann die Zinsstrukturkurve darstellen. Mittels des Bootstrapping-Verfahrens ist es möglich, das sogenannte Wiederanlagerisiko zu eliminieren. Bootstrapping ist nicht mit Nullkuponanleihen möglich, da diese nicht an effizienten Märkten gehandelt werden.

Beim Bootstrapping w​ird zunächst d​er risikofreie Zinssatz d​er kleinsten Periode, a​lso beginnend a​m kurzen Ende d​er Zinsstruktur, hergeleitet u​nd dann sukzessiv u​m die nächstlängere Periode erweitert.

Verfahren

Das Vorgehen k​ann wie f​olgt beschrieben werden:

Aus d​er Rendite e​iner einjährigen Kuponanleihe erhält m​an den einjährigen risikofreien Zinssatz, a​us einer zweijährigen Kuponanleihe i​n Verbindung m​it der einjährigen Kuponanleihe erhält m​an den zweijährigen risikofreien Zinssatz usw.

Formel

${\displaystyle r_{n}={\sqrt[{n}]{\tfrac {N+k}{\left(K-{\tfrac {k}{(1+r_{1})^{1}}}-{\tfrac {k}{(1+r_{2})^{2}}}-...-{\tfrac {k}{(1+r_{n-1})^{n-1}}}\right)}}}-1}$

mit:

• K = Kurs einer Anleihe (entspricht dem Barwert einer Anleihe)

• k = Kupon einer Anleihe

• N = Nennwert einer Anleihe

• R = Rendite einer Anleihe

• r = risikofreier Zinssatz

Annahme: r₁=R₁

Beispiel

Gegeben sei der Kurs einer Anleihe (100 GE) sowie die 1-jährige Rendite einer Anleihe (1 %), die 2-jährige Rendite einer Anleihe (3 %) und die 3-jährige Rendite einer Anleihe (5 %). Zunächst werden nur die ersten zwei Jahre betrachtet und damit folgende Form gebildet:

${\displaystyle 100={\tfrac {3}{(1+0,01)^{1}}}+{\tfrac {103}{(1+r_{2})^{2}}}}$. Durch einfache Umformung erhält man ${\displaystyle r_{2}={\sqrt {\tfrac {103}{100-{\tfrac {3}{1,01}}}}}-1}$. Man erhält den risikofreien Zinssatz ${\displaystyle r_{2}}$ von ca. 3,03 %.

Um nun den risikofreien Zinssatz ${\displaystyle r_{3}}$ zu ermitteln wird, basierend auf dem risikofreien Zinssatz ${\displaystyle r_{2}}$, die Rendite der 3-jährigen Anleihe in der Formel hinzugefügt:

${\displaystyle 100={\tfrac {5}{(1+0,01)^{1}}}+{\tfrac {5}{(1+0,0303)^{2}}}+{\tfrac {105}{(1+r_{3})^{3}}}}$. Durch Umformung erhält man ${\displaystyle r_{3}={\sqrt[{3}]{\tfrac {105}{\left(100-{\tfrac {5}{1,01}}-{\tfrac {5}{1,0303^{2}}}\right)}}}-1}$. Man erhält den risikofreien Zinssatz ${\displaystyle r_{3}}$ von ca. 5,14 %.

Literatur

• William F. Sharpe, Gordon J. Alexander, Jeffery V. Bailey: Investments. Prentice Hall International, 1998. ISBN 0-13-011507-X
• Klaus Spremann, Pascal Gantenbein: Zinsen, Anleihen, Kredite. Oldenbourg, 2007, S. 122, ISBN 3486583735 Google Books