Blume-Capel-Modell

Das Blume-Capel-Modell nach Martin Blume[1] und Hans Willem Capel[2] ist eine Verallgemeinerung des Ising-Modells in der Festkörperphysik. Es beschreibt eine Situation, in der sich die Spins mehrerer wechselwirkender Teilchen parallel, antiparallel oder orthogonal zu einem externen Magnetfeld ausrichten können, womit zusätzlich zum Ising-Modell auch der orthogonale Fall abgedeckt ist. Anders ausgedrückt beschreibt das Blume-Capel-Modell Spins mit einem Betrag ${\displaystyle s=1}$, während das Ising-Modell Spins mit einem Betrag ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}}$ beschreibt.

Definition

Der dem Blume-Capel-Modell zugrunde liegende Hamilton-Operator ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, dessen Eigenwerte die möglichen Energien des Systems sind, lautet:

${\displaystyle {\mathcal {H}}=-D\sum _{i}(1-s_{i}^{z2})-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}^{z}s_{j}^{z}-\mu H\sum _{i}s_{i}^{z}}$

Dabei ist

• ${\displaystyle D}$ das zero-field splitting, das die Energiedifferenz zwischen dem Singulett ${\displaystyle s^{z}=0}$ und dem Dublett ${\displaystyle s^{z}=\pm 1}$ angibt
• ${\displaystyle J}$ die Stärke der Wechselwirkung benachbarter Spins
• ${\displaystyle \mu }$ das magnetische Moment der Spins
• ${\displaystyle H}$ die Stärke des externen Magnetfeldes
• ${\displaystyle s_{i}^{z}}$ die ${\displaystyle z}$-Komponente des ${\displaystyle i}$-ten Spins.

Die Notation u​nter der Summe s​oll ausdrücken, d​ass nur über d​ie jeweils nächsten Nachbarn summiert wird.

Der größte Unterschied zum Ising-Modell ist der zusätzliche, vom Parameter ${\displaystyle D}$ abhängige Term im Hamilton-Operator. Für nur zwei mögliche Ausrichtungen des Spins wie im Ising-Modell wäre dieser Term eine Konstante und, wie ein konstanter Term in einem Potential, physikalisch bedeutungslos.

Eigenschaften

Abhängig vom Wert von ${\displaystyle D}$ nimmt das System verschiedene Grundzustände ein und zeigt unterschiedliches Verhalten beim Phasenübergang.

Bezeichne ${\displaystyle n}$ die Anzahl der nächsten Nachbarn und ${\displaystyle N}$ die Anzahl der Spins im System, so gilt:

• Für ${\displaystyle D>{\tfrac {1}{2}}nJ}$ ist der Grundzustand magnetisch ungeordnet und alle Spins liegen orthogonal zum Magnetfeld, ${\displaystyle s_{i}=0}$. Die Grundzustandsenergie liegt bei ${\displaystyle E_{0}=-ND}$.
• Für ${\displaystyle D={\tfrac {1}{2}}nJ}$ ist der Grundzustand entartet.
• Für ${\displaystyle D<{\tfrac {1}{2}}nJ}$ ist der Grundzustand vollständig magnetisch geordnet. Das heißt, alle Spins nehmen den Wert ${\displaystyle s_{i}=1}$ an und die Grundzustandsenergie liegt bei ${\displaystyle E_{0}=-{\tfrac {1}{2}}NnJ}$. In diesem Bereich existiert also eine Curie-Temperatur ${\displaystyle T_{\mathrm {C} }}$, bei der das System von einem magnetisch ungeordneten in einen magnetisch geordneten Zustand übergeht. Dieser Phasenübergang ist
  • für ${\displaystyle -\infty <D<{\tfrac {1}{3}}nJ\ln 4}$ ein Phasenübergang zweiter Ordnung. Die Curie-Temperatur sinkt von ${\displaystyle {\frac {nJ}{k_{\mathrm {B} }}}}$ bei ${\displaystyle D=-\infty }$ auf ${\displaystyle {\frac {1}{3}}{\frac {nJ}{k_{\mathrm {B} }}}}$ bei ${\displaystyle D={\tfrac {1}{3}}nJ\ln 4}$ (darin ist ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ die Boltzmann-Konstante)
  • für ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}nJ\ln 4<D<{\tfrac {1}{2}}nJ}$ ein Phasenübergang erster Ordnung, bei dem die Magnetisierung abrupt von Null auf einen endlichen Wert springt. Die Curie-Temperatur sinkt weiter von ${\displaystyle {\frac {1}{3}}{\frac {nJ}{k_{\mathrm {B} }}}}$ bei ${\displaystyle D={\tfrac {1}{3}}nJ\ln 4}$ auf  K bei ${\displaystyle D={\tfrac {1}{2}}nJ}$.

Einzelnachweise

1. Martin Blume: Theory of the First-Order Magnetic Phase Change in UO₂. In: Physical Review. Band 141, Nr. 2, 1965, S. 517–524, doi:10.1103/PhysRev.141.517 (englisch).
2. Hans Willem Capel: On the possibility of first-order phase transitions in Ising systems of triplet ions with zero-field splitting. In: Physica. Band 32, Nr. 5, 1966, S. 966–988, doi:10.1016/0031-8914(66)90027-9 (englisch).