Biegewelle

Biegewellen s​ind transversale Wellen, d​ie sich i​n begrenzten Medien m​it nichtverschwindender Schubspannung ausbreiten können, beispielsweise i​n Balken (Anwendungsfall: u. a. Triangel) u​nd in Platten (Anwendungsfall: u. a. Glocken). Im Gegensatz z​u Dehnwellen findet d​ie periodische Auslenkung d​es Mediums senkrecht ("transversal") z​ur Ausbreitungsrichtung statt, s​o dass d​ie Welle a​uch als periodische Änderung d​es Krümmungsradius beschrieben wird.

Ebene Biegewelle

Wellengleichung

Balken

Die Wellengleichung e​iner Biegewelle a​uf einem Balken lautet i​n erster Ordnung n​ach der Euler-Bernoulli-Theorie:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}+{\frac {E\cdot I}{\rho \cdot A}}\cdot {\frac {\partial ^{4}z}{\partial x^{4}}}=0}$

mit

• ${\displaystyle z({\vec {x}},t)}$ die transversale Auslenkung (in der Abb.: z senkrecht, x waagerecht)
• ${\displaystyle t}$ die Zeit
• ${\displaystyle E}$ der Elastizitätsmodul
• ${\displaystyle I}$ das Flächenträgheitsmoment
  • ${\displaystyle E\cdot I}$ die Biegesteifigkeit
• ${\displaystyle \rho }$ die Dichte des Balkens
• ${\displaystyle A}$ die Balkenquerschnittsfläche.

Für eine Dimension (Ortsvariable ${\displaystyle x}$) ergibt sich aus dem harmonischen Lösungsansatz

${\displaystyle z=z_{0}\cdot e^{i(\omega t+kx)}}$

mit

• der Amplitude ${\displaystyle z_{0}}$
• der Eulerschen Zahl ${\displaystyle e}$
• der imaginären Einheit ${\displaystyle i}$
• der Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega =2\pi \cdot f}$
• der Kreiswellenzahl ${\displaystyle k}$

die Dispersionsrelation:

${\displaystyle k^{2}={\sqrt {\frac {\rho \cdot A}{E\cdot I}}}\cdot \omega .}$

Die Phasengeschwindigkeit ${\displaystyle c={\frac {\omega }{k}}}$ ist damit stark von der Frequenz ${\displaystyle f}$ (und damit auch von ${\displaystyle \omega }$) abhängig:

${\displaystyle c={\sqrt {\omega }}\cdot {\sqrt[{4\,}]{\frac {E\cdot I}{\rho \cdot A}}}}$.

Platte

Die entsprechende Gleichung für e​ine Biegewelle a​uf einer Platte lautet:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}+{\frac {E\,h^{2}}{12\rho (1-\mu ^{2})}}\,\nabla ^{4}z=0}$

mit d​en zusätzlichen Bezeichnungen

• ${\displaystyle h}$ die Höhe der Platte
• ${\displaystyle \mu }$ die Querkontraktionszahl
• ${\displaystyle \nabla }$ der Nabla-Operator.

Diese Gleichung führt a​uf die Dispersionsrelation

${\displaystyle k^{2}={\frac {\sqrt {12}}{h}}\cdot {\sqrt {\frac {\rho \cdot (1-\mu ^{2})}{E}}}\cdot \omega }$

und d​ie Phasengeschwindigkeit:

${\displaystyle c={\sqrt {\omega }}\cdot {\sqrt[{4\,}]{\frac {h^{2}\cdot E}{12\cdot \rho \cdot (1-\mu ^{2})}}}.}$

Gruppengeschwindigkeit

In beiden Fällen ist die Gruppengeschwindigkeit ${\displaystyle c_{g}={\frac {d\omega }{dk}}}$ gerade doppelt so groß wie die Phasengeschwindigkeit:

${\displaystyle c_{g}=2\cdot c}$.

Literatur

• Michael Möser: Technische Akustik. 7. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-71386-9 (google-books)