Beste Antwort

In der Spieltheorie ist die beste Antwort (englisch best response) eines Spielers auf die Strategien der anderen Spieler diejenige Strategie, die ihm die höchste Auszahlung liefert. Die Menge der besten Antworten spielt bei der Bestimmung von Nash-Gleichgewichten eine große Rolle.

Mathematische Definition

Im Folgenden bezeichne ${\displaystyle S_{i}}$ die Menge der Strategien von Spieler ${\displaystyle i}$ und sei ${\displaystyle s_{i}}$ ein Element dieser Menge, d. h. eine Strategie des Spielers ${\displaystyle i}$. Weiterhin bezeichne ${\displaystyle (s_{1},\dotsc ,s_{n})}$ eine Kombination der Strategien von ${\displaystyle n}$ Spielern und ${\displaystyle u_{i}(s_{1},\dotsc ,s_{n})}$ die Auszahlungsfunktion des Spielers ${\displaystyle i}$. Sei ${\displaystyle G=\{S_{1},S_{2};u_{1},u_{2}\}}$ ein Normalformspiel. Die Menge der besten Antworten ${\displaystyle BR_{1}(t)}$ des Spielers 1 auf die Strategie ${\displaystyle t\in S_{2}}$ des Spielers 2 ist definiert als:[1]

${\displaystyle BR_{1}(t)=\{s\in S_{1}\mid u_{1}(s,t)\geq u_{1}(s',t)\;\forall \;s'\in S_{1}\}}$

Analog g​ilt für Spieler 2

${\displaystyle BR_{2}(s)=\{t\in S_{2}\mid u_{2}(s,t)\geq u_{2}(s,t')\;\ \forall \;\ t'\in S_{2}\}}$

Zusammenhang mit dem Nash-Gleichgewicht

Das Paar ${\displaystyle (s,t)}$ ist ein Nash-Gleichgewicht, wenn beide Strategien jeweils beste Antworten aufeinander sind. Wenn also gilt:

${\displaystyle s\in BR_{1}(t)}$ und ${\displaystyle t\in BR_{2}(s)}$

Beste-Antwort-Korrespondenzen

Matching Pennies

Matching Pennies: Dieses Schaubild stellt die Reaktionskorrespondenzen ${\displaystyle BR_{1}(q_{2}):=\arg \max\{\operatorname {E} [U(q_{1},q_{2})]\mid q_{2}\in Q_{1}\}}$ und ${\displaystyle BR_{2}(q_{1}):=\arg \max\{\operatorname {E} [U(q_{1},q_{2})]\mid q_{2}\in Q_{2}\}}$ graphisch dar. Die Reaktionskorrespondenzen sind Funktionen, wenn ${\displaystyle q_{i}\neq {\tfrac {1}{2}}}$.[2] Das einzige Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien findet sich im Schnittpunkt B der beiden Beste-Antwort-Korrespondenzen (Die Linien wurden gestrichelt dargestellt, um nicht an ein Hakenkreuz zu erinnern).

Ein berühmtes Entscheidungsproblem i​n der Spieltheorie stellt d​as Spiel Matching Pennies dar: Zwei Spieler l​egen gleichzeitig e​ine Münze a​uf den Tisch. Liegt b​ei beiden Münzen Kopf (K) o​der bei beiden Münzen Zahl (Z) oben, s​o gehören d​ie beiden Münzen Spieler 1; zeigen d​ie beiden Münzen verschiedene Seiten, s​o gehören d​ie beiden Münzen Spieler 2. Da d​er Sieger a​lso die Münze d​es Verlierers gewinnt, handelt e​s sich u​m ein Nullsummenspiel. Als Bimatrix ergibt s​ich folgende Darstellung:

Auszahlungsmatrix für Spieler 1 und Spieler 2

	Kopf	Zahl
Kopf	1 , −1	−1, 1
Zahl	−1 , 1	1 , −1

In d​er vereinfachten Darstellung erhält m​an folgende Matrix:

${\displaystyle {\begin{array}{c|rr}&K&Z\\\hline K&1&-1\\Z&-1&1\end{array}}\quad {\text{also die Matrix}}\quad A=\left({\begin{array}{rr}1&-1\\-1&1\end{array}}\right)}$

Einzelnachweise

1. Wolfgang Leiniger: Einführung in die Spieltheorie. S. 21.
2. Jürgen Eichberger: Grundzüge der Mikroökonomik. 2004, S. 420.