Bessel-Verfahren

Als Bessel-Verfahren oder Bessel-Methode wird eine Messmethode zur Bestimmung der Brennweite ${\displaystyle f}$ einer Sammellinse bezeichnet. Sie ist benannt nach Friedrich Wilhelm Bessel, der sie im Jahre 1840 publizierte.[1]

Grundlagen

Aufbau und Bezeichnungen

Wenn ein Gegenstand G mittels einer optischen Linse auf einem Schirm als Bild B abgebildet wird, dann erhält man in zwei Positionierungen der Linse ein scharfes Bild: In der Position ${\displaystyle P_{1}}$ ist das Bild vergrößert, in der Position ${\displaystyle P_{2}}$ ist es verkleinert. Dabei muss der Abstand ${\displaystyle a}$ des Gegenstand zum Schirm größer sein als das Vierfache der Brennweite ${\displaystyle f}$ zuzüglich der Distanz ${\displaystyle {\overline {HH'}}}$ der beiden Hauptebenen der Linse:

${\displaystyle a>4f+{\overline {HH'}}}$

Praktisch wird die Linse mehrfach zwischen diesen beiden Positionen hin und her verschoben, und die jeweiligen Abstände ${\displaystyle x_{1}}$ und ${\displaystyle x_{2}}$ von einem Rand der Anordnung werden gemessen. Aus deren Differenz erhält man den Abstand ${\displaystyle e}$ der beiden Linsenpositionen, aus dem die Brennweite mit den Gleichungen

${\displaystyle f={\frac {a^{2}-e^{2}}{4a}}}$  für dünne Linsen,

${\displaystyle f={\frac {(a-{\overline {HH'}})^{2}-e^{2}}{4(a-{\overline {HH'}})}}}$  für dicke Linsen

berechnet werden kann.

Gegenüber der einfachen Berechnung aus Bild- und Gegenstandsweite mittels der Linsengleichung hat das Bessel-Verfahren den Vorteil, dass bei dicken Linsen oder Linsensystemen die Lage der Hauptebenen H und H′ nicht bekannt sein muss. Allerdings wird das Ergebnis für dicke Linsen um die Hälfte bis ein Viertel von ${\displaystyle {\overline {HH'}}}$ zu groß, abhängig von ${\displaystyle a}$.

Gegenüber d​em aufwändigeren Abbe-Verfahren, m​it dem zusätzlich d​ie Lage d​er Hauptebenen ermittelt werden, h​at das Bessel-Verfahren d​en Vorteil, d​ass mit e​inem festen Aufbau (Lichtquelle, Gegenstand u​nd Bildschirm i​n festem Abstand) v​iele Linsen schnell vermessen werden können.

Herleitung

Dünne Linsen

Bezeichnungen an der dünnen Linse

1. Herleitung:
Bei dünnen Linsen kann der Abstand zwischen den beiden Hauptebenen vernachlässigt werden. Es gilt:

${\displaystyle b+g=a}$,

wobei ${\displaystyle b}$ die Bildweite und ${\displaystyle g}$ die Gegenstandsweite ist. Wegen der Symmetrie der Anordnung muss ferner gelten:

${\displaystyle e=a-2b}$

(das Objekt soll ja gerade scharf abgebildet werden, deswegen kann der Abstand ${\displaystyle e}$ der beiden Punkte, in denen es scharf abgebildet wird, nur durch diese Gleichung beschrieben werden).
Unter Benutzung der Linsengleichung

${\displaystyle {\frac {1}{f}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{g}}}$

und Einsetzen von ${\displaystyle g=a-b}$ sowie

${\displaystyle b={\frac {a-e}{2}}}$

erhält man

${\displaystyle {\frac {1}{f}}={\frac {1}{\frac {a-e}{2}}}+{\frac {1}{a-{\frac {a-e}{2}}}}={\frac {2}{a-e}}+{\frac {2}{a+e}}={\frac {4a}{a^{2}-e^{2}}}}$.

Die Umformung ergibt

${\displaystyle f={\frac {a^{2}-e^{2}}{4a}}}$.

2. Herleitung:
Unter Benutzung der Linsengleichung

${\displaystyle {\frac {1}{f}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{g}}}$

und Einsetzen von ${\displaystyle b=a-g}$ (der Abstand der Hauptebenen einer dünnen Linse ist null) erhält man eine Gleichung für ${\displaystyle g}$:

${\displaystyle {\frac {1}{f}}={\frac {a}{ag-g^{2}}}}$.

Wird diese quadratische Gleichung nach ${\displaystyle g}$ auf gelöst, erhält man

${\displaystyle e=\Delta g={\sqrt {a^{2}-4af}}}$.

wobei ${\displaystyle e}$ als die Differenz der beiden Gegenstandsweiten ${\displaystyle g}$ definiert ist. Die Umformung ergibt

${\displaystyle f={\frac {a^{2}-e^{2}}{4a}}}$ .

Dicke Linsen

Der Abstand der Hauptebenen ${\displaystyle {\overline {HH'}}}$ ist nicht vernachlässigbar. Es gilt

${\displaystyle a=g+b+{\overline {HH'}}}$ und

${\displaystyle e=(a-{\overline {HH'}})-2b}$ .

Man erhält m​it obigen Überlegungen d​ie Formel

${\displaystyle f={\frac {(a-{\overline {HH'}})^{2}-e^{2}}{4(a-{\overline {HH'}})}}}$ .

Literatur

• Eugene Hecht: Optik, Oldenbourg Verlag, 4. Auflage 2005, ISBN 3-486-27359-0

Anmerkungen

1. F. W. Bessel: Ueber ein Mittel zur Bestimmung der Brennweite des Objectivglases eines Fernrohres. In: Astronomische Nachrichten, Band XVII (1840), No. 403, S. 289–294 (Digitalisat)