Basisfolge

Basisfolgen werden i​m mathematischen Teilgebiet d​er Funktionalanalysis z​ur Untersuchung v​on Banachräumen herangezogen. Es handelt s​ich dabei u​m Folgen, d​ie eine Schauderbasis i​n dem v​on ihnen erzeugten Unterraum sind. Nicht j​eder separable Banachraum h​at eine Schauderbasis, a​ber es g​ibt stets Basisfolgen.

Definition

Eine Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ in einem Banachraum ${\displaystyle X}$ heißt eine Basisfolge, wenn ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Schauderbasis in ${\displaystyle [(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }]}$ ist, das heißt in der abgeschlossenen, linearen Hülle der Elemente ${\displaystyle x_{n}}$. Die Basisfolge heißt normalisiert, wenn alle ${\displaystyle x_{n}}$ die Norm 1 haben.

Zwei Basisfolgen ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ und ${\displaystyle (y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ in Banachräumen ${\displaystyle X}$ bzw. ${\displaystyle Y}$ heißen äquivalent, wenn für jede Folge ${\displaystyle (\alpha _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ von Skalaren die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}x_{n}}$ genau dann in ${\displaystyle X}$ konvergiert, wenn ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}y_{n}}$ in ${\displaystyle Y}$ konvergiert. Das ist genau dann der Fall, wenn es einen Banachraum-Isomorphismus ${\displaystyle T:[(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }]\rightarrow [(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }]}$ gibt mit ${\displaystyle Tx_{n}=y_{n}}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.[1]

Zwei Basisfolgen ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ und ${\displaystyle (y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ in Banachräumen ${\displaystyle X}$ bzw. ${\displaystyle Y}$ heißen kongruent, falls es einen Banachraum-Isomorphismus ${\displaystyle T:X\rightarrow Y}$ gibt mit ${\displaystyle Tx_{n}=y_{n}}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.[2] Offenbar sind kongruente Basisfolgen äquivalent, die Umkehrung dieser Aussage scheitert daran, dass man einen Banachraum-Isomorphismus ${\displaystyle T:[(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }]\rightarrow [(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }]}$ im Allgemeinen nicht zu einem solchen von ${\displaystyle X}$ auf ${\displaystyle Y}$ fortsetzen kann.

Beispiele

• Jede Schauderbasis in einem Banachraum ist eine Basisfolge, zum Beispiel die kanonischen Basen in den Folgenräumen ${\displaystyle \ell ^{p}}$ oder das Haar-System in den Räumen L^p([0,1]), wobei ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$.
• Die Folge der Rademacherfunktionen ist in jedem Raum L^p([0,1]), ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$, eine Basisfolge, die äquivalent zur kanonischen Basis in ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ist, wie sich leicht aus der Chintschin-Ungleichung ergibt.

Das Grinblum-Kriterium

Das nach dem russischen Mathematiker Maximilian Michailowitsch Grinblum benannte Grinblum-Kriterium entscheidet für eine vorgelegte Folge in einem Banachraum, ob es sich um eine Basisfolge handelt. Demnach ist ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ genau dann eine Basisfolge in ${\displaystyle X}$, wenn alle ${\displaystyle x_{n}}$ von 0 verschieden sind und es eine Konstante ${\displaystyle K>0}$ gibt mit

${\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{m}\alpha _{k}x_{k}\right\|\,\leq \,K\,\left\|\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}x_{k}\right\|}$

für jede Folge ${\displaystyle (\alpha _{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ von Skalaren und natürlichen Zahlen ${\displaystyle m,n}$ mit ${\displaystyle m\leq n}$.[3][4]

Das kleinste ${\displaystyle K}$, das obige Ungleichung für alle Skalare ${\displaystyle \alpha _{k}}$ und ${\displaystyle m<n}$ erfüllt, heißt Basiskonstante der Basisfolge. Das ist nichts anderes als die Basiskonstante der Schauderbasis ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ im Banachraum ${\displaystyle [(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }]}$.

Existenz von Basisfolgen

Das Auswahlprinzip von Bessaga-Pelczynski besagt, dass in einem unendlichdimensionalen Banachraum jede Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle \|x_{n}\|=1}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, die schwach gegen 0 konvergiert, eine Teilfolge enthält, die Basisfolge ist. Daraus folgt insbesondere

• Jeder unendlichdimensionale Banachraum enthält einen abgeschlossenen Unterraum, der eine Schauderbasis hat.[5]

Es stellt s​ich sofort d​ie Frage, o​b jeder unendlichdimensionale Banachraum s​ogar einen abgeschlossenen Unterraum m​it unbedingter Schauderbasis besitzt. Dieses Problem w​ar lange offen, b​is William Timothy Gowers u​nd Bernard Maurey 1993 e​in negatives Beispiel vorlegten.[6]

Blockbasisfolgen

Es sei ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ Schauderbasis eines Banachraums ${\displaystyle X}$. Eine Blockbasisfolge von ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ist eine Folge ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ von Vektoren ${\displaystyle u_{n}\not =0}$ mit

${\displaystyle u_{n}=\sum _{k=p_{n-1}+1}^{p_{n}}\alpha _{k}x_{k}}$   wobei ${\displaystyle 0=p_{0}<p_{1}<p_{2}<\ldots ,\quad \alpha _{k}\in \mathbb {R} }$.

Die ${\displaystyle u_{n}}$ entstehen demnach aus ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ durch Bildung von Blöcken, woher der Name Blockbasisfolge rührt. Zudem kann man zeigen, dass ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ tatsächlich eine Basisfolge ist, deren Konstante nicht größer als die Basiskonstante von ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ist.[7]

Dies ist eine wichtige Methode, aus gegebenen Basisfolgen durch Blockbildung neue zu gewinnen. Man kann zeigen, dass die aus den kanonischen Basen von ${\displaystyle c_{0}}$ oder ${\displaystyle \ell ^{p}}$ gebildeten normalisierten Blockbasisfolgen zur Ausgangsbasis äquivalent sind. Das führt zu bedeutenden Konsequenzen über die Struktur dieser Folgenräume.[8]

Einzelnachweise

1. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Definitionen 1.1.8 und 1.3.1
2. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Definition 1.3.8
3. M. M. Grinblum: Некоторые теоремы о базисе в пространстве типа (B) (Einige Sätze über Basen in Räumen vom Typ (B)), C. R. Dokl. Akad. Sci. URSS (1941), Band 31, Seiten 428–432
4. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Satz 1.1.9
5. Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces, Springer-Verlag (1984), ISBN 0-387-90859-5, Kapitel V: Basic Sequences
6. W. T. Gowers, B. Maurey: The unconditional basic sequence problem, J. Amer. Math. Soc. (1993), Band 6, Seiten 851–874
7. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Definition 1.3.4 und Lemma 1.3.5
8. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Kapitel 2: The Classical Sequence Spaces